这就是一个Anti SG问题

当整个游戏的\(sg = 0\)时,如果不存在单一游戏局面\(sg > 1\),那么先手必胜

当整个游戏的\(sg \neq 0\)时,如果至少存在一个单一游戏局面\(sg > 1\),那么先手必胜

简略的证一下QAQ

首先证\(N\)至少有一个后继是\(P\)

  • 整个游戏的\(sg = 0\),不存在单一游戏局面\(sg > 1\)

一定有偶数个\(1\),显然先手必胜

  • 整个游戏的\(sg \neq 0\),至少存在一个单一游戏局面\(sg > 1\)

类似\(Nim\)游戏,先手一定可以选出一堆石头使得\(sg = 0\)

然后是\(P\)的后继全部都是\(N\)

  • 整个游戏的\(sg \neq 0\),不存在单一游戏局面\(sg > 1\)

一定有奇数个\(1\),显然先手必败

  • 整个游戏的\(sg = 0\),至少存在一个单一游戏局面\(sg > 1\)

由于\(sg = 0\),因此一定存在两个以上的单一游戏局面\(sg > 1\)

此时,不论先手怎么取,后继状态的\(sg\)不可能等于\(0\),并且至少存在一个单一游戏局面\(sg > 1\)


#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std; #define ll long long
#define ri register int
#define rep(io, st, ed) for(ri io = st; io <= ed; io ++)
#define drep(io, ed, st) for(ri io = ed; io >= st; io --) #define gc getchar
inline int read() {
int p = 0, w = 1; char c = gc();
while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') w = -1; c = gc(); }
while(c >= '0' && c <= '9') p = p * 10 + c - '0', c = gc();
return p * w;
} int a[50050]; int main() {
int T = read();
while(T --) {
int n = read();
rep(i, 1, n) a[i] = read();
int flag = 0, sg = 0, win;
rep(i, 1, n) flag += (a[i] > 1), sg ^= a[i];
if(!flag && sg == 0) win = 1;
else if(flag && sg != 0) win = 1;
else win = 0;
if(win == 1) printf("John\n");
else printf("Brother\n");
}
return 0;
}

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