柯朗微积分与数学分析习题选解(1.1 节 e)
一直在读《陶哲轩实分析》,陶的书非常的严谨,环环相扣,但是也有个缺点就是计算性的例子和应用方面的例子太少了。所以就又找了本柯朗的《微积分与数学分析》搭配着看。柯朗的书的习题与陶的风格完全不同,里面有大量的考察技巧性的习题,有些题相当有难度,第一卷又没有提供习题答案。我试着解了一小部分习题,放到这里,供有需要的同学参考。能力有限,有些题确实搞不定,有些题给的答案可能是错的。所以仅供参考。
柯朗微积分与数学分析习题选解(1.1 节 e)
第四题
两个正数 a ,b 的调和平均值 ε 定义为:
试证明调和平均值不超过几何平均值。ε≤ab−−√ 试问两平均值何时相等。
当 a=b 时两平均值相等。
第五题
试导出下列不等式
(a) x2+y2+xy≥0
x2+y2+xy=(x+12y)2+34y2≥0
(b)x2n+x2n−1y+x2n−2y2+⋯+y2n≥0
当 x≠y 时,有
当 x=y 时,有
只有 x=y=0 时
(c) x4+3x3+4x2−3x+1≥0
x 取任何值等号都不会成立。
第六题
6 考虑两个向量 A=(a1,a2,a3) 和 B=(b1,b2,b3)
那么有
展开后就是
两边平方:
第九题
(a) a2+b2+c2≥ab+bc+ac
(b) (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
(c) a2b2+b2c2+a2c2≥abc(a+b+c)
第十题
第十一题
所以:
n≤3 时表示的是三角形一边的边长小于另外两边边长之和。
第十二题
因为:
所以:
所以:
所以:
所以:
第十三题
这道题以前做过,解答过程在这里。
http://blog.csdn.net/liyuanbhu/article/details/47057393
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