[算法模版]Link-Cut-Tree
[算法模版]Link-Cut-Tree
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基本思想
即“使用一个splay维护一条链,且这条链不存在在原树上的深度相同的点”。而这条链在splay中的存储方式是以节点在原树上的深度为关键字进行排序。(这也意味着这个splay的中序遍历和这条链在原树上的中序遍历是相同的,且这个中序遍历就是把这个链从浅到深写下来)
在push_up
操作中这是个关键的性质。因为splay上的节点x
的左子树就是他的一部分祖先节点,右子树就是他的一部分儿子节点。
makeroot操作
makeroot操作用于把任何一个点反转到当前树的根节点。
做法是先把要进行操作的节点x进行access,将root和x进行连通。然后进行splay(x)操作,把x变成splay的根。(请注意,这时候x在主树的深度仍然没有改变)。
随后将x的子树全部进行反转操作。也就是改变了这个splay的深度。虽然splay和splay之间的连接需要依赖深度关系(一棵splay的虚边连接向当前splay中序遍历序列的首位在原树上的父亲)。但是因为相对关系不变,所以不影响。
看图(图来自 动态仙人掌系列题解之四):
可以把连接老根和新根的splay看作一个无法弯曲的杆子,其他splay都是连接在杆子上的块。旋转操作虽然会改变杆子上每一点的深度,但是却不会改变块和杆子上连接点的相对深度关系。所以不会这样变换老根和新根不会对树的结构造成破坏。
另外如果维护的值是和树的形态相关的,这样使用makeroot
很可能就会出锅(比如 SP2939 QTREE5 - Query on a tree V)。那么makeroott
就不能使用了。因为涉及makeroot
的操作有link,cut,split
。我们得想办法解决这个问题:
Link
之所以需要在link
中makeroot(x)
,是因为根据定义,对于一条虚边u,v
,在原树上是一条连接u,root[v]
的边(这里root[]
是splay的root)。所以我们需要保证连接的其中一个端点f[x]=0且root[x]=x
即可。
findroot操作
因为已经makeroot(x)
了,所以x
一定是最浅的点。我们必须要保证三个条件才能cut
:
- 在同一棵树。
y
的父亲是x
。y
没有左子树。
后两个条件保证了x
和y
在原树上是直接连接的。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxn (int)(3e5+1000)
int f[maxn],v[maxn],s[maxn],st[maxn],c[maxn][2];
bool r[maxn];
using namespace std;
int n,m;
void pushr(int x){
swap(c[x][0],c[x][1]);r[x]^=1;
}
void pushdown(int x){
if(!r[x])return;
if(c[x][0])pushr(c[x][0]);
if(c[x][1])pushr(c[x][1]);
r[x]=0;
}
void pushup(int x){
s[x]=s[c[x][0]]^s[c[x][1]]^v[x];
}
bool nroot(int x){
return c[f[x]][0]==x||c[f[x]][1]==x;
}
void rotate(int x){
int y=f[x],z=f[y],k=(c[y][1]==x),w=c[x][!k];
bool flag=nroot(y);
c[y][k]=c[x][!k];
f[c[x][!k]]=y;
c[x][!k]=y;
f[y]=x;
if(flag)c[z][c[z][1]==y]=x;
f[x]=z;
pushup(y);
pushup(x);
}
void splay(int x){
int y=x,z=0;
st[++z]=y;
while(nroot(y))st[++z]=y=f[y];
while(z)pushdown(st[z--]);
for(;nroot(x);rotate(x)){
y=f[x];
if(!nroot(f[x]))continue;
rotate((c[f[x]][0]==x)==(c[f[y]][0]==y)?y:x);
}
// pushup(x);
}
void access(int x){
for(int y=0;x;y=x,x=f[x]){
splay(x);c[x][1]=y;pushup(x);
}
}
int findroot(int x){
access(x);splay(x);
while(c[x][0]){
x=c[x][0];
pushdown(x);
}
splay(x);
return x;
}
void makeroot(int x){
access(x);splay(x);pushr(x);
}
void split(int x,int y){
makeroot(x);access(y);splay(y);
}
void link(int x,int y){
if(findroot(x)!=findroot(y)){makeroot(x);f[x]=y;}
}
void cut(int x,int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)==x&&f[y]==x&&!c[y][0]){
f[y]=c[x][1]=0;
pushup(x);
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&v[i]);
for(int i=1;i<=m;i++){
int ty,x,y;scanf("%d%d%d",&ty,&x,&y);
if(ty==0){
split(x,y);
printf("%d\n",s[y]);
}
else if(ty==1){
link(x,y);
}
else if(ty==2){
cut(x,y);
}
else if(ty==3){
splay(x);v[x]=y;//pushup(x);
}
}
}
易错点
- 调用
access(x)
后,x
所在splay的根可能不是x
,也可能不是原树的根。所以在查询某条路径\(u,v\)的答案时,一定需要在makeroot(x),access(y)
之后必须加上splay(x)
或splay(y)
,才能保证x或y在splay的根上。 findroot
时应该先pushdown
再判断左儿子是不是0,然后才能向左儿子走(因为可能左儿子原来不是0,pushdown
之后变成了0,这时候走左儿子就会炸掉)。所以应该写成:while(c[x][0])x=c[x][0],push_down(x);
cut
中判断条件合法会进行findroot(y)
,但是findroot(y)
末尾如果没有对查询结果执行splay()
就会锅掉。因为cut
中会先makeroot(x)
,findroot(y)
如果查询之后不把结果splay
上去那么根就不是x
了,接着cut
就会出锅。
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