【刷题】BZOJ 4817 [Sdoi2017]树点涂色

Description

Bob有一棵n个点的有根树，其中1号点是根节点。Bob在每个点上涂了颜色，并且每个点上的颜色不同。定义一条路

径的权值是：这条路径上的点（包括起点和终点）共有多少种不同的颜色。Bob可能会进行这几种操作：

1 x:

把点x到根节点的路径上所有的点染上一种没有用过的新颜色。

2 x y:

求x到y的路径的权值。

3 x y:

在以x为根的子树中选择一个点，使得这个点到根节点的路径权值最大，求最大权值。

Bob一共会进行m次操作

Input

第一行两个数n,m。

接下来n-1行，每行两个数a,b，表示a与b之间有一条边。

接下来m行，表示操作，格式见题目描述

1<=n,m<=100000

Output

每当出现2,3操作，输出一行。

如果是2操作，输出一个数表示路径的权值

如果是3操作，输出一个数表示权值的最大值

Sample Input

5 6

1 2

2 3

3 4

3 5

2 4 5

3 3

1 4

2 4 5

1 5

2 4 5

Sample Output

3

4

2

2

Solution

这真的是一道数据结构神题

一步一步来，我们先看如何求答案

对于第2个询问，如果我们知道每个节点到根路径上的答案，那么就变成了经典的树上差分，\(ans(u)+ans(v)-2*ans(lca_{u,v})+1\)

这里解释一下+1，这东西很妙啊。看修改操作，每次都是把一个点到根路径上的颜色都改成一种新的颜色，所以不可能存在 \(u\) 到 \(lca\) （\(lca\) 除外）的路径上与 \(v\) 到 \(lca\) （\(lca\) 除外）的路径上有相同的颜色，路径上也不可能出现颜色断层现象。所以只有两种情况：一是 \(lca\) 上的颜色不与任何它到 \(u\)，\(v\) 路径上的颜色相同，这样减去后，因为 \(lca\) 上是一种新的颜色，所以要加1；二是 \(lca\) 上的颜色与它到 \(u\)，\(v\) 的某一条路径上连着的一段颜色相同，这样减去之后这连着一段颜色相同的贡献多减了一次，所以还是要加1

关键就是这个修改操作，很精髓，所以这样差分是正确的（可以自己手动画画）

然后对于第3个询问，既然我们维护的就是 \(ans(u)\) 和 \(ans(v)\) ，那么就再找到它的 \(lca\) ，直接三次询问就出答案了

再看第一个修改操作，这不很像LCT的access吗，那就用access维护

而对于 \(ans(u)\) 答案的维护，因为又要维护点，又要维护子树，那就树剖后的线段树吧

然后每次access的时候，如果断开了右儿子的链，那么右儿子与当前点的颜色就不一样了，所以要给右儿子所在的子树的答案加1；而新接的右子树因为从颜色不一样变成了颜色一样，所以要给新的右子树的答案减1

数据结构啊，数据结构。。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
const int MAXN=100000+10;
int n,m,e,to[MAXN<<1],nex[MAXN<<1],beg[MAXN],srt[MAXN],end[MAXN],hson[MAXN],cnt,size[MAXN],fa[MAXN],dep[MAXN],iit[MAXN],top[MAXN];
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
#define Mid ((l+r)>>1)
#define lson rt<<1,l,Mid
#define rson rt<<1|1,Mid+1,r
struct SEG{
	int Mx[MAXN<<2],Ad[MAXN<<2];
	inline void PushUp(int rt)
	{
		Mx[rt]=max(Mx[rt<<1],Mx[rt<<1|1]);
	}
	inline void PushDown(int rt)
	{
		Mx[rt<<1]+=Ad[rt];Mx[rt<<1|1]+=Ad[rt];
		Ad[rt<<1]+=Ad[rt];Ad[rt<<1|1]+=Ad[rt];
		Ad[rt]=0;
	}
	inline void Build(int rt,int l,int r)
	{
		if(l==r)Mx[rt]=iit[l];
		else
		{
			Build(lson);Build(rson);
			PushUp(rt);
		}
	}
	inline void Update(int rt,int l,int r,int L,int R,int k)
	{
		if(L<=l&&r<=R)Mx[rt]+=k,Ad[rt]+=k;
		else
		{
			PushDown(rt);
			if(L<=Mid)Update(lson,L,R,k);
			if(R>Mid)Update(rson,L,R,k);
			PushUp(rt);
		}
	}
	inline int QuerySm(int rt,int l,int r,int pos)
	{
		if(l==r&&r==pos)return Mx[rt];
		else
		{
			PushDown(rt);
			if(pos<=Mid)return QuerySm(lson,pos);
			else return QuerySm(rson,pos);
		}
	}
	inline int QueryMx(int rt,int l,int r,int L,int R)
	{
		if(L<=l&&r<=R)return Mx[rt];
		else
		{
			PushDown(rt);
			int res=0;
			if(L<=Mid)chkmax(res,QueryMx(lson,L,R));
			if(R>Mid)chkmax(res,QueryMx(rson,L,R));
			return res;
		}
	}
};
SEG T1;
#undef Mid
#undef lson
#undef rson
#define lc(x) ch[(x)][0]
#define rc(x) ch[(x)][1]
struct LCT{
	int ch[MAXN][2],fa[MAXN];
	inline bool nroot(int x)
	{
		return lc(fa[x])==x||rc(fa[x])==x;
	}
	inline void rotate(int x)
	{
		int f=fa[x],p=fa[f],c=(rc(f)==x);
		if(nroot(f))ch[p][rc(p)==f]=x;
		fa[ch[f][c]=ch[x][c^1]]=f;
		fa[ch[x][c^1]=f]=x;
		fa[x]=p;
	}
	inline void splay(int x)
	{
		for(register int y=fa[x];nroot(x);rotate(x),y=fa[x])
			if(nroot(y))rotate((lc(y)==x)==(lc(fa[y])==y)?y:x);
	}
	inline int findroot(int x)
	{
		while(lc(x))x=lc(x);
		return x;
	}
	inline void access(int x)
	{
		for(register int y=0,rt;x;x=fa[y=x])
		{
			splay(x);
			if(rc(x))rt=findroot(rc(x)),T1.Update(1,1,n,srt[rt],end[rt],1);
			rc(x)=y;
			if(rc(x))rt=findroot(rc(x)),T1.Update(1,1,n,srt[rt],end[rt],-1);
		}
	}
};
LCT T2;
#undef lc
#undef rc
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char c='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(c!='\0')putchar(c);
}
inline void insert(int x,int y)
{
	to[++e]=y;
	nex[e]=beg[x];
	beg[x]=e;
}
inline void dfs1(int x,int f,int d)
{
	int ch=0;
	fa[x]=f;
	size[x]=1;dep[x]=d;
	for(register int i=beg[x];i;i=nex[i])
		if(to[i]==f)continue;
		else
		{
			dfs1(to[i],x,d+1);
			size[x]+=size[to[i]];
			if(size[to[i]]>ch)hson[x]=to[i],ch=size[to[i]];
		}
}
inline void dfs2(int x,int tp)
{
	srt[x]=++cnt;
	iit[cnt]=dep[x];
	top[x]=tp;
	if(hson[x])dfs2(hson[x],tp);
	for(register int i=beg[x];i;i=nex[i])
		if(to[i]==fa[x]||to[i]==hson[x])continue;
		else dfs2(to[i],to[i]);
	end[x]=cnt;
}
inline int LCA(int u,int v)
{
	while(top[u]!=top[v])
	{
		if(dep[top[u]]<dep[top[v]])std::swap(u,v);
		u=fa[top[u]];
	}
	return dep[u]<dep[v]?u:v;
}
int main()
{
	read(n);read(m);
	for(register int i=1;i<n;++i)
	{
		int u,v;
		read(u);read(v);
		insert(u,v);insert(v,u);
	}
	dfs1(1,0,1);dfs2(1,1);
	T1.Build(1,1,n);
	for(register int i=1;i<=n;++i)T2.fa[i]=fa[i];
	while(m--)
	{
		int opt;
		read(opt);
		if(opt==1)
		{
			int x;
			read(x);
			T2.access(x);
		}
		if(opt==2)
		{
			int x,y,lca;
			read(x);read(y);lca=LCA(x,y);
			write(T1.QuerySm(1,1,n,srt[x])+T1.QuerySm(1,1,n,srt[y])-2*T1.QuerySm(1,1,n,srt[lca])+1,'\n');
		}
		if(opt==3)
		{
			int x;
			read(x);
			write(T1.QueryMx(1,1,n,srt[x],end[x]),'\n');
		}
	}
	return 0;
}