【BZOJ4916】神犇和蒟蒻 杜教筛

题目传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4916

第一个询问即求出$\sum_{i=1}^{n} { \mu (i^2)} $，考虑到$\mu$的定义，当i>1时必存在次数为偶数的质因子，故在数据范围内，$\sum_{i=1}^{n} { \mu (i^2)} $恒等于1。

第二个询问即求出$\sum_{i=1}^{n} { \varphi  (i^2)} $，考虑到$\varphi$的定义，则有$\varphi(i^2)=i\times \varphi(i)$。

问题转化为求$\sum_{i=1}^{n} { i\times \varphi  (i)} $

下面开始化简式子，考虑式子$n=\sum_{i|n}{\varphi (i)}$

通过简单变式，得：$n=\sum_{i|n\&i<n}{\varphi (i)}+\varphi (n)$

移项，得：$\varphi (n)=n-\sum_{i|n\&i<n}{\varphi (i)}$

通过之前推出的式子，得：$\mu(n^2)=n^2-n\times\sum_{i|n\&i<n}{\mu(i)}$

我们设$\Phi(n)=\sum_{i=1}^{n} { \varphi  (i^2)}$

则：

$\Phi(n)=\sum_{i=1}^{n} (i^2-i \times \sum_{j|i\&j<i}\varphi(j))$

$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\sum_{i=1}^{n} i \times \sum_{j|i\&j<i}\varphi(j)$

$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\sum_{i=2}^{n} i \times \sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor}\varphi(j)\times j$

$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\sum_{i=2}^{n} i \times \Phi(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$

然后用杜教筛的思路+预处理1~19260817的$i\times \mu (i)$的前缀和即可

 #include<bits/stdc++.h>
 #define L long long
 #define M 19260817
 #define MOD 1000000007
 #define inv6 166666668
 using namespace std;

 int b[M]={},phi[M]={},use=; L pri[M]={};
 void init(){
     phi[]=;
     for(int i=;i<M;i++){
         if(!b[i]) pri[++use]=i,phi[i]=i-;
         for(int j=;j<=use&&i*pri[j]<M;j++){
             b[i*pri[j]]=;
             if(i%pri[j]==) {phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j]; break;}
             phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-);
         }
     }
     for(L i=;i<M;i++) phi[i]=(phi[i-]+phi[i]*i)%MOD;
 }

 map<int,L> mp;
 L solve(L n){
     if(n<M) return phi[n];
     if(mp[n]) return mp[n];
     L pls=n*(n+)%MOD*(n<<|)%MOD*inv6%MOD,ans=;
     for(L i=,j;i<=n;i=j+){
         j=n/(n/i);
         L sumi=((i+j)*(j-i+)/)%MOD;
         ans=(ans+solve(n/i)%MOD*sumi)%MOD;
     }
     ans=(pls-ans+MOD)%MOD;
     return mp[n]=ans;
 }

 int main(){
     init();
     int n; scanf("%d",&n); printf("1\n");
     printf("%lld\n",solve(n));
 }