【洛谷题解】P2303 [SDOi2012]Longge的问题

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能自己推出正确的式子的感觉真的很好！

题意简述：

求\(\sum_{i=1}^{n}gcd(i,n)\)。\(n\leq 2^{32}\)。

题解：

我们开始化简式子：

\(\sum_{i=1}^{n}gcd(i,n)\)

\(=\sum_{j=1}^{n}\left(j\times\sum_{i=1}^{n}\left[gcd(i,n)=j\right]\right)\)

\(=\sum_{j=1}^{n}\left(j\times\sum_{i=1}^{n}\left[gcd(i/j,n/j)=1\right]\left(j|i,j|n\right)\right)\)

\(=\sum_{j=1}^{n}\left(j\times\varphi\left(n/j\right)\left(j|n\right)\right)\)

\(=\sum_{j|n}\left(j\times\varphi\left(n/j\right)\right)\)

到这里就可以直接计算了。

但是还可以进一步化简！（以下的\(p\)为质数）

\(\sum_{j|n}(j\times\varphi(n/j))\)

\(=\sum_{j|n}(n/j\times\varphi\left(j\right))\)

\(=\sum_{j|n}(n/j\times(j\cdot\prod_{p|j}\frac{p-1}{p}))\)

\(=\sum_{j|n}(n\cdot\prod_{p|j}\frac{p-1}{p})\)

\(=n\times\sum_{j|n}\prod_{p|j}\frac{p-1}{p}\)

接下来我们令\(n=p_1^{b_1}p_2^{b_2}p_3^{b_3}\cdots p_k^{b_k}\)，并定义\(f_i=\frac{p_i-1}{p_i}\)。

那么\(n\)的因子\(j\)可以表示为：\(j=p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}\cdots p_k^{c_k}\)，满足\(0\leq c_i\leq b_i\)。

那么\(\prod_{p|j}\frac{p-1}{p}=\prod_{i=1}^kf_i[c_i>0]\)。

我们观察一类\(\prod_{i=1}^kf_i[c_i>0]\)相等的\(j\)，它们必要满足在\(i\)相等的情况下，\(c_i\)同时大于0或\(c_i\)同时等于0。

那么这一类的\(j\)有多少个呢？如果这类\(j\)有质因子\(p_{q_1},p_{q_2},p_{q_3},\cdots,p_{q_g}\)。

那么这类\(j\)的答案为\(\prod_{i=1}^gf_{q_i}\)，而个数为\(\prod_{i=1}^gb_{q_i}\)。

\(b_i\)就是原来\(n\)的质因数分解的指数。

那么对答案的贡献为：\(\prod_{i=1}^g\chi_{q_i}\)。这里\(\chi_i=f_i\cdot b_i\)。

发现每一个质因子的贡献都是独立的，那么最后我们枚举\(n\)的每一个质因子取不取，得到最后的答案：\(n\cdot\prod_{i=1}^{k}(\chi_i+1)\)。

举个例子：如果\(n\)只有\(3\)个质因子，那么答案为\(n\cdot(1+\chi_1+\chi_2+\chi_3+\chi_1\chi_2+\chi_1\chi_3+\chi_2\chi_3+\chi_1\chi_2\chi_3)\)。

显然可以化简为：\(n\cdot(\chi_1+1)\cdot(\chi_2+1)\cdot(\chi_3+1)\)。

当然可以类比到质因数更多的情况。

总之，答案就是：\(n\cdot\prod_{i=1}^{k}\frac{b_i\cdot p_i-b_i+p_i}{p_i}\)。

代码：

 #include<cstdio>
 long long n;
 long long f(){
     long long ans=n; long long i;
     for(i=;i*i<=n;++i) if(n%i==){
         int b=;
         while(n%i==) ++b,n/=i;
         ans/=i;
         ans*=b*i-b+i;
     } if(n>) ans/=n, ans*=n+n-;
     return ans;
 }
 int main(){
     scanf("%lld",&n);
     printf("%lld",f());
     return ;
 }