笔试算法题（58）：二分查找树性能分析（Binary Search Tree Performance Analysis）

议题：二分查找树性能分析（Binary Search Tree Performance Analysis）

分析：

• 二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一颗典型的二叉树，同时任何节点的键值大于等于该节点左子树中的所有键值，小于等于该节点右子树中的所有键值，并且每个节点域中保存 一个记录以其为根节点的子树中所有节点个数的属性，这个属性可用于支持贪婪算法的实现；

• 二叉搜索树的建立是在树的底部添加新的元素，搜索即从根元素开始到达树底部的一条路径，插入和搜索相似（注意对重复键的处理），排序按照节点访问方式不同有前序、中序、后序三种；

• 二叉搜索树算法的运行时间取决于树的形状，最好情况下根节点与每个外部节点间有㏒N个节点，此时树完全平衡，最坏情况下搜索路径上有N个节点。由于创建二 叉搜索树的时候，第一个插入的元素总是作为根元素，所以元素插入的顺序决定树的形状。在随机情况下，极度平衡和极度不平衡的树都很少出现，所以这种情况下 二叉搜索树算法有着良好的运行情况；

• 所以平均情况下，N个随机生成的BST树种，一次搜索，插入大约需要1.39㏒N此比较。如果键值不是随机出现，则二叉搜索树退化为N个节点的链表，一次操作为线性O(N)运行时间；

• 使用BST树存储文件中每一个文本串，基于字符串的排序使得搜索变得容易；

• BottomUp插入策略：按照前序策略遍历整个树结构，首先查看当前节点是否为NULL，然后与关键值比较查看是否为目标值，不是的话就分别针对左右子 树递归调用搜索算法，然后进入下一个结构，注意在递归调用之间的衔接是由返回一个节点来实现的，所以如果已经到达树底部，则返回一个新节点，这个节点正好 位于上一级的子树连接上，这样正好形成整个树结构；

• TopDown插入策略：在BottomUp插入策略的基础上，将新插入的节点在递归回溯的时候逐层旋转，知道根节点的位置；使用基于递归插入操作和旋转 操作的策略可以使得最近插入的元素接近BST树的顶部，同时保持树的平衡性。这种插入方式称为从根部插入，实现策略：首先使用普通递归插入将在树底部找到 一个合适的位置插入新的节点，然后使用旋转操作将这个新加入的节点旋转到根节点处，不仅可以保持树的平衡，而且由于最近插入的项被使用的概率大，靠近根节 点则加速搜索效率；

• 旋转操作：BST树中从根部插入新节点：首要考虑的就是是否能够保持BST树的性质。现在使用基于旋转（Rotation）的转换策略，使得BST树保持原有性质。旋转实质上是交换根节点和一个孩子的角色，同时保持各节点的顺序

  

• 选择第Kth个值（最小或者最大）：利用Node节点中的count标记（此标记说明以当前节点为根节点的子树的所有节点数），可以快速查找给定的序列中 第Kth个最小或者最大值；当然前提是将给定的序列扩建成BST；从根节点开始，首先检查其左子树中节点个数，如果正好为K个则返回根节点本身，如果大于 K个节点，则对左子树递归调用算法，如果小于K个节点，则说明第K个最小键在根节点的右子树中，变成查找右子树中第K-t-1个最小键的项（t为左子树所 有节点，1为根节点自身）；

• BST树的节点删除操作：被删除的节点可以有三种情况，没有子节点，有一个子节点，有两个子节点。第一种情况可直接删除；第二种情况需要临时存储子节点的 索引，并让被删除节点的父节点指向这个这个索引；第三种情况需要维护BST树的性质，所以一般性策略是选择右子树中最小的元素作为新的根节点（右子树中最 小的元素出现在最左边，所以它至多只有一个子节点，可容易删除），然而有时候也会选择左子树中的最大元素作为新的根节点（由于在左右子树中任意选择新的节 点作为新的根节点，所以可能造成BST树的不平衡）；

样例：

 struct Node {
         int value;
         int count;
         Node *left;
         Node *right;
         Node(int v, int c=, Node* l=NULL, Node* r=NULL):
                                 count(c), value(v), left(l), right(r) {
 
         }
 };
 /**
  * 对root节点进行右旋转操作，也就是：
  * 1. 让root原来的左孩子变成newRoot；
  * 2. 让root变成newRoot的右子节点；
  * 3. 让root原来的左孩子的的右子节点变成root的左子节点
  * */
 Node* rightRotate(Node *root) {
         Node *newRoot=root->left;
         root->left=root->left->right;
         newRoot->right=root;
         return newRoot;
 }
 /**
  * 对root节点进行左旋转操作，也就是：
  * 1. 让root原来的右孩子变成newRoot；
  * 2. 让root变成newRoot的左子节点；
  * 3. 让root原来的右孩子的左子节点变成root的右子节点
  * */
 Node* leftRotate(Node *root) {
         Node *newRoot=root->right;
         root->right=root->right->left;
         newRoot->left=root;
         return newRoot;
 }
 
 Node* binaryTreeSearch(Node *root, int target) {
 
         if(root==NULL)
                 return NULL;
 
         if(target>root->value)
                 return binaryTreeSearch(root->right, target);
         else if(target<root->value)
                 return binaryTreeSearch(root->left, target);
         else
                 return root;
 }
 
 Node* binaryTreeInsert(Node *root, int target) {
 
         if(root==NULL) {
                 return new Node(target);
         }
 
         if(target>root->value)
                 root->right=binaryTreeInsert(root->right, target);
         else if(target<root->value)
                 root->left=binaryTreeInsert(root->left, target);
 
         return root;
 }
 /**
  * 这样可以将新插入的元素旋转到为root；
  * 不仅可以保持BST的平衡性，而且可以保证
  * 新插入的元素的最大访问延迟；
  * */
 Node* binaryTreeInsertTopDown(Node *root, int target) {
 
         if(root==NULL) {
                 return new Node(target);
         }
 
         if(target>root->value) {
                 root->right=binaryTreeInsert(root->right, target);
                 root=leftRotate(root);
         }
         else if(target<root->value) {
                 root->left=binaryTreeInsert(root->left, target);
                 root=rightRotate(root);
         }
 
         return root;
 }
 
 Node* binaryTreeInsertWithCount(Node *root, int target) {
 
         if(root==NULL) {
                 return new Node(target);
         }
 
         if(target>root->value)
                 root->right=binaryTreeInsert(root->right, target);
         else if(target<root->value)
                 root->left=binaryTreeInsert(root->left, target);
         root->count++;
         return root;
 }
 /**
  * 从一个序列中选定第K大的数字，
  * */
 int binaryTreeSelect(Node *root, int k) {
         /**
          * 如果当前root为NULL，则选择失败
          * */
         if(root==NULL) {
                 printf("\nfind nothing-_-\n");
                 return -;
         }
         /**
          * 如果root的左子节点为NULL
          * */
         if(root->left==NULL) {
                 if(k==)
                         return root->value;
                 return binaryTreeSelect(root->right, k-);
         }
         /**
          * 如果root的左子节点不为NULL；
          * 1. 如果K<=leftCount，则Kth个节点在左子树中
          * 2. 如果K==leftCount+1，则kth个节点就是root自身
          * 3. 如果k>leftCount+1，则Kth个节点就是右子树中的k-1-leftCount个节点
          * */
         int leftCount=root->left->count;
         if(leftCount>=k)
                 return binaryTreeSelect(root->left, k);
         else if(leftCount+==k)
                 return root->value;
         else
                 return binaryTreeSelect(root->right, k--leftCount);
 }
 
 /**
  * 将指定的元素target旋转到根节点
  * */
 Node* binaryTreeRotate(Node *root, int target) {
 
         if(root==NULL)
                 return NULL;
 
         if(target>root->value) {
                 root->right=binaryTreeRotate(root->right,target);
                 leftRotate(root);
         } else if(target<root->value) {
                 root->left=binaryTreeRotate(root->left,target);
                 rightRotate(root);
         }
 
         return root;
 }
 /**
  * 此方法寻找root的左子树中具有最大value的子节点，也就是最‘左边’的子节点；
  * */
 Node* subtreeRightMaximum(Node *root) {
         Node *cur=root;
         Node *pre;
         while(cur!=NULL) {
                 pre=cur;
                 cur=cur->left;
         }
         return pre;
 }
 /**
  * 此方法寻找root的右子树中具有最大value的子节点，也就是最‘左边’的子节点；
  * */
 Node* subTreeLeftMaximum(Node* root) {
         Node *cur=root;
         Node *pre;
         while(cur!=NULL) {
                 pre=cur;
                 cur=cur->right;
         }
         return pre;
 }
 
 Node* binaryTreeDelete(Node *root, int target) {
 
         if(root==NULL)
                 return NULL;
         Node *temp;
         Node *newRoot;
         /**
          * 如果target比root->value大，则说明其位于root的
          * 右子树，则继续递归
          * 如果target比root->value小，则说明其位于root的
          * 左子树，则继续递归
          * 如果target等于root->value，则说明当前节点root
          * 就是需要删除的节点，然后分三种情况讨论：
          * 1. 如果root没有左右子节点
          * 2. 如果root只有左节点或者只有右节点
          * 3. 如果root德尔左右子节点都存在；
          * */
         if(target>root->value)
                 root->right=binaryTreeDelete(root->right, target);
         else if(target<root->value)
                 root->left=binaryTreeDelete(root->left, target);
         else {
                 if(root->left==NULL && root->right) {
                         delete root;
                         return NULL;
                 } else if(root->left==NULL) {
                         temp=root->right;
                         delete root;
                         return temp;
                 } else if(root->right==NULL) {
                         temp=root->left;
                         delete root;
                         return temp;
                 }
                 /**
                  * 左右子节点都存在的情况，需要从左右子树中寻找下一个根节点；
                  * 这里是从右子树中选取最小的一个节点作为新的根节点；
                  * */
                 newRoot=subtreeRightMaximum(root->right);
                 /**
                  * 由于右子树中最小的节点必然至多只有一个右节点，所以其删除操作
                  * 较为简单；然后将其的左右子树替换成当前的左右子树；
                  * */
                 newRoot=binaryTreeDelete(root->right, newRoot->value);
                 newRoot->right=root->right;
                 newRoot->left=root->left;
                 delete root;
         }
 
 }

补充：

• BST中搜索和插入的策略都是一样的，从传入的树节点开始，首先判断其是否为NULL，如果是的话对于搜索来讲表示失败，对于插入来讲表示需要插入新的节 点；如果不是NULL的话，对于搜索来讲比对是否为目标值，然后针对左右子树递归调用，对于插入来讲比对是否相同，表示树中已经有同样的节点算法说明；

• BST树的构建和搜索也使用同样的遍历策略，所以插入与搜索一样容易实现；旋转可用于防止树变得不平衡，实现删除，合并和其他操作的辅助操作，BST树的 插入操作可以通过在树的底部插入新元素，然后使用左旋和右旋将新元素带到根节点处，防止树的不平衡状态。每次BST搜索命中的项也可以通过旋转带到根节点 处；

• 使用BST树进行选择算法最大的缺点就是计数域的出现导致额外的内存占用，树结构改变时需要额外的维护操作，同时我们可以对查找到的节点元素使用旋转操作，将其放到根节点的位置，下次使用的时候就能很快定位；

BST树的性能特征总结：

• 二叉搜索树算法的运行时间取决于树的形状，最好情况下树可能完全平衡，这样一次搜索过程就是一条路径的长度㏒N，最差情况下树退化为链表，这样一次搜索过程路径长度可能为N；

• 使用插入操作构建BST树的过程中，越是前面的节点对树最终形状的影响越是大，第一个元素就是树根，对于随机序列来讲，最坏情况出现的概率很小，所以平均情况能保持较好的运行时间，㏒N；

• 使用索引项来表示搜索节点，避免动态分配内存。当序列以随机序列插入时，生成完全平衡树的概率很小，但二叉树路径的长度和树的高度与BST的搜索开销联系 紧密。平均情况下一棵根据N个随机键生成的BST树中，搜索命中（插入和搜索失败）大约需要1.39㏒N次比较。最坏情况下，可能需要N此比较（也就是顺 序搜索）；