OpenCascade Eigenvalues and Eigenvectors of Square Matrix

eryar@163.com

Abstract. OpenCascade use the Jacobi method to find the eigenvalues and the eigenvectors of a real symmetric square matrix. Use class math_Jacobi to computes all eigenvalues and eigenvectors by using Jacobi method. The exception NotSquare is raised if the matrix is not square. No verification that the matrix is really symmetric is done.

Key words. Eigenvalues, Eigenvectors, OpenCascade, Matrix, Jacobi method,

1. Introduction

工程技术中的一些问题,如振动问题和稳定性问题,常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题。数学中诸如方阵的对角化及解常微分方程等问题,也都有要用到特征值的理论。

定义:设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非零列向量x使关系式 Ax = λx成立,那么这样的数λ称为方阵A的特征值,非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量。

推论:若n阶矩阵A与对角阵

相似,则λ1,λ2,...,λn即是A的n个特征值。

定理:n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

推论:如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等,则A与对角阵相似。

当A的特征方程有重根时,就不一定有n个线性无关的的特征向量,从而不一定能对角化。一个n阶矩阵具备什么条件才能对角化呢?这是一个较复杂的问题。

定理:设A为n阶对称阵,则有正交阵P,使

其中∧是以A的n个特征值为对角元的对角阵。

OpenCascacde中使用了Jacobi方法来计算对称方阵的特征值和特征向量。本文对math_Jacobi的使用进行详细说明。

2. Code Example

结合同济第四版《线性代数》中的例子,来验证Jacobi方法计算的结果。示例程序如下所示:

/*
* Copyright (c) 2014 eryar All Rights Reserved.
*
* File : Main.cpp
* Author : eryar@163.com
* Date : 2014-06-22 21:46
* Version : 1.0v
*
* Description : Demonstrate how to find the eigenvalues and
* eigenvectors for a symmetric square Matrix.
* 题目来自《线性代数》同济 第四版
*
*/ #define WNT #include <math_Jacobi.hxx> #pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib") /**
* OpenCascade use Jacobi method to find the eigenvalues and
* the eigenvectors of a real symmetric square matrix.
*/
void EvalEigenvalue(const math_Matrix &A)
{
math_Jacobi J(A); std::cout << A << std::endl; if (J.IsDone())
{
std::cout << "Jacobi: \n" << J << std::endl;
//std::cout << "Eigenvalues: \n" << J.Values() << std::endl;
//std::cout << "Eigenvectors: \n" << J.Vectors() << std::endl; for (Standard_Integer i = A.LowerRow(); i <= A.UpperRow(); ++i)
{
math_Vector V(, A.RowNumber()); J.Vector(i, V); std::cout << "Eigenvalue: " << J.Value(i) << std::endl;
std::cout << "Eigenvector: " << V << std::endl;
}
}
} void TestJacobi(void)
{
// 1. P120 Example 5:
math_Matrix A1(, , , , 0.0); A1(, ) = 3.0; A1(, ) = -1.0;
A1(, ) = -1.0; A1(, ) = 3.0; EvalEigenvalue(A1); // 2. P120 Example 6:
math_Matrix A2(, , , , 0.0); A2(, ) = -1.0; A2(, ) = 1.0; A2(, ) = 0.0;
A2(, ) = -4.0; A2(, ) = 3.0; A2(, ) = 0.0;
A2(, ) = 1.0; A2(, ) = 0.0; A2(, ) = 2.0; EvalEigenvalue(A2); // 3. P120 Example 7:
math_Matrix A3(, , , , 0.0); A3(, ) = -2.0; A3(, ) = 1.0; A3(, ) = 1.0;
A3(, ) = 0.0; A3(, ) = 2.0; A3(, ) = 0.0;
A3(, ) = -4.0; A3(, ) = 1.0; A3(, ) = 3.0; EvalEigenvalue(A3); // 4. P127 Example 12:
math_Matrix A4(, , , , 0.0); A4(, ) = 0.0; A4(, ) = -1.0; A4(, ) = 1.0;
A4(, ) = -1.0; A4(, ) = 0.0; A4(, ) = 1.0;
A4(, ) = 1.0; A4(, ) = 1.0; A4(, ) = 0.0; EvalEigenvalue(A4); // 5. P138 Execise 5(3);
math_Matrix A5(, , , , 0.0); A5(, ) = 1.0; A5(, ) = 2.0; A5(, ) = 3.0;
A5(, ) = 2.0; A5(, ) = 1.0; A5(, ) = 3.0;
A5(, ) = 3.0; A5(, ) = 3.0; A5(, ) = 6.0; EvalEigenvalue(A5);
} int main(int argc, char* argv[])
{
// The Jacobi method to find the eigenvalues and
// eigenvectors of a real symmetric square matrx.
// The exception NotSquare is raised if the matrix is not square.
// No verification that the matrix is really symmetric is done.
TestJacobi(); return ;
}

计算结果部分如下图所示:

Figure 2.1 Jacobi method Result

3. Conclusion

矩阵的特征值和特征向量的理论能用来求解微分方程组的问题。振动分析、现代控制理论中的数学模型都可归结为对微分方程组的求解。因此,对特征值和特征向量的数值计算有重要的意义。

OpenCascade中提供了使用Jacobi方法来计算特征值和特征向量的类math_Jacobi。从计算结果可以看出,math_Jacobi只对对称方阵的计算结果准确,若不是对称阵,则计算结果是不准确的。

会使用OpenCascade中现成的算法是一回事,能实现这些算法又是另外一回事。对计算特征值和特征向量的数值方法感兴趣的读者,可以参考《计算方法》或《数值分析》等相关书籍。


4. References

1. 同济大学应用数学系. 线性代数. 高等教育出版社. 2003

2. 易大义, 沈云宝, 李有法. 计算方法. 浙江大学出版社. 2002

3. 杨明, 李先忠. 矩阵论. 华中科技大学出版社. 2005

OpenCascade Eigenvalues and Eigenvectors of Square Matrix的更多相关文章

  1. 方差variance, 协方差covariance, 协方差矩阵covariance matrix | scatter matrix | weighted covariance | Eigenvalues and eigenvectors

    covariance, co本能的想到双变量,用于描述两个变量之间的关系. correlation,相关性,covariance标准化后就是correlation. covariance的定义: 期望 ...

  2. A.Kaw矩阵代数初步学习笔记 10. Eigenvalues and Eigenvectors

    “矩阵代数初步”(Introduction to MATRIX ALGEBRA)课程由Prof. A.K.Kaw(University of South Florida)设计并讲授. PDF格式学习笔 ...

  3. m*n matrix min rank square matrix

    m*n matrix m*n=1000 f(A)=25 https://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring12/cos598C/svdchapter ...

  4. <<Numerical Analysis>>笔记

    2ed,  by Timothy Sauer DEFINITION 1.3A solution is correct within p decimal places if the error is l ...

  5. <Numerical Analysis>(by Timothy Sauer) Notes

    2ed,  by Timothy Sauer DEFINITION 1.3A solution is correct within p decimal places if the error is l ...

  6. OpenCascade Matrix

    OpenCascade Matrix eryar@163.com 摘要Abstract:本文对矩阵作简要介绍,并结合代码说明OpenCascade矩阵计算类的使用方法. 关键字Key Words:Op ...

  7. Matrix Factorization SVD 矩阵分解

    Today we have learned the Matrix Factorization, and I want to record my study notes. Some kownledge ...

  8. A geometric interpretation of the covariance matrix

    A geometric interpretation of the covariance matrix Contents [hide] 1 Introduction 2 Eigendecomposit ...

  9. What is an eigenvector of a covariance matrix?

    What is an eigenvector of a covariance matrix? One of the most intuitive explanations of eigenvector ...

随机推荐

  1. 采用Lambda表达式快速实现实体模型对象转换到DTO

    在项目中,采用code first时建立的模型对象不能直接用于数据传输,需要从新根据需求建立Dto对象 为什么需要建立Dto对象呢? DTO即数据传输对象.之前不明白有些框架中为什么要专门定义DTO来 ...

  2. volatile不能保证原子性

    1.看图自己体会 2.体会不了就给你个小程序 package cs.util; public class VolatileDemo { private volatile int count =0; p ...

  3. Linux下搭建coreseek(sphinx+mmseg3)全文检索

    测试平台:Center OS 1.设置环境,升级/安装系统基础依赖包:m4.autoconf.automake.libtool #设置路径和中文环境: $ export PATH=/usr/local ...

  4. 转载——CSS3 Object-fit和Object-position

    在响应式设计(RWD)中,令大家最头痛的问题的是图片的自适应处理问题.往往我采取的处理方式是给图片的容器设置一个尺寸,然后给图片设置下面的代码: img { max-width: 100%; heig ...

  5. Spark源码编译并在YARN上运行WordCount实例

    在学习一门新语言时,想必我们都是"Hello World"程序开始,类似地,分布式计算框架的一个典型实例就是WordCount程序,接触过Hadoop的人肯定都知道用MapRedu ...

  6. dp入门--poj 1163数塔

                                                                                                        ...

  7. [ios]关于用FMDB 操作数据库 删除 tableView 后刷新

    刚了解使用fmdb,从数据库获取数据 绑定到一个可变数组classNameItems //从ClassList表取得数据 FMResultSet *classInfo=[db executeQuery ...

  8. spark 你要喧宾夺主么?好好干。

    嗯嗯,hadoop EcoSystem.

  9. 单例模式和angular的services的使用方法

    在现实生活中存在着有这样的特点的一些类: A.这些类只能有一个实例: B.这些能够自动实例化: C.这个类对整个系统可见,即必须向整个系统提供这个实例. 不妨举一个具体的单例模式的例子:比如教室里面的 ...

  10. 如何使用Goolge Timeline工具

    网上中文的资料版本比较老,找到一个新版本的英文介绍,翻一下,原文:https://developers.google.com/web/tools/chrome-devtools/profile/eva ...