HDU5730 FFT+CDQ分治

题意：dp[n] = ∑ ( dp[n-i]*a[i] )+a[n], ( 1 <= i < n)

cdq分治。

计算出dp[l ~ mid]后，dp[l ~ mid]与a[1 ~ r-l]做卷积运算。

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int N = 4e5+;
 const int mod = ;
 const double pi = acos(-1.0);
 struct comp{
     double r,i;comp(double _r=,double _i=){r=_r;i=_i;}
     comp operator+(const comp x){return comp(r+x.r,i+x.i);}
     comp operator-(const comp x){return comp(r-x.r,i-x.i);}
     comp operator*(const comp x){return comp(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);}
 }x[N], y[N];
 void FFT(comp a[],int n,int t){
     for(int i=,j=;i<n-;i++){
         for(int s=n;j^=s>>=,~j&s;);
         if(i<j)swap(a[i],a[j]);
     }
     for(int d=;(<<d)<n;d++){
         int m=<<d,m2=m<<;
         double o=pi/m*t;comp _w(cos(o),sin(o));
         for(int i=;i<n;i+=m2){
             comp w(,);
             for(int j=;j<m;j++){
                 comp &A=a[i+j+m],&B=a[i+j],t=w*A;
                 A=B-t;B=B+t;w=w*_w;
             }
         }
     }
     if(t==-)for(int i=;i<n;i++)a[i].r/=n;
 }

 int a[N], dp[N], n;
 void cdq(int l,int r){
     if(l == r){
         dp[l] = (dp[l]+a[l])%mod;
         return;
     }
     int mid = l+r >> ;
     cdq(l, mid);
     int len = ;
     while(len <= (r-l+)) len <<= ;
     for(int i = ; i < len; i++)
         x[i] = y[i] = comp(, );
     for(int i = l; i <= mid; i++)
         x[i-l] = comp(dp[i], );
     for(int i = ; l+i <= r; i++)
         y[i-] = comp(a[i], );
     FFT(x, len, ); FFT(y, len, );
     for(int i = ; i < len; i++)
         x[i] = x[i]*y[i];
     FFT(x, len, -);

     for(int i = mid+; i <= r; i++){
         dp[i] += x[i-l-].r+0.5;
         dp[i] %= mod;
     }
     cdq(mid+,r);
 }

 int main(){
     while(scanf("%d", &n), n){
         for(int i = ; i <= n; i++){
             scanf("%d", a+i);
             a[i] %= mod;
             dp[i] = ;
         }
         cdq(, n);
         printf("%d\n", dp[n]);
     }
     return ;
 }

补：

因为做多项式逆运算在分治FFT之前，故做此题时首先有了一个多项式求逆的方法。

观察 dp[n] = ∑ ( dp[n-i]*a[i] )+a[n], ( 1 <= i < n)

令a[0] = -1, 则 ∑ ( dp[n-i]*a[i] )+a[n] = 0, ( 0 <= i < n) 对任意n > 0成立

令dp[0] = 1

则dp序列与a序列卷积 = dp[0]*a[0]  +  ∑ ( dp[i-j]*a[j] ) xⁱ = dp[0]*a[0] = -1,

已知a序列，则dp序列为a的逆多项式序列*(-1)。

因为模313，最终各个系数 <= n(m-1)*(m-1) = 9734400000,  故选了一个大素数206158430209

写了一个多项式求逆的代码，不过不知什么原因WA了。

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 typedef long long ll;
 using namespace std;
 const int N = , K = ;
 ll n, m, i, k;
 ll a[N+], b[N+], tmp[N+], tmp2[N+];
 ll P = 206158430209LL, G = , g[K+], ng[K+], inv[N+], inv2;
 //ll P = 998244353, G = 3, g[K+1], ng[K+10], inv[N+10], inv2;
 ////////////
 ll mul(ll a, ll b){
     ll ans = ;
     while(b){
         if(b&) ans += a;
         if(ans >= P) ans -= P;
         a = a+a;
         if(a >= P) a -= P;
         b >>= ;
     }
     return ans;
 }
 ll pow(ll a, ll n){
     ll ans = ;
     while(n){
         if(n&)
             ans = mul(ans, a);
         a = mul(a, a);
         n >>= ;
     }
     return ans;
 }
 ////////////
 void NTT(ll*a,int n,int t){
     for(int i=,j=;i<n-;i++){
         for(int s=n;j^=s>>=,~j&s;);
         if(i<j)swap(a[i], a[j]);
     }
     for(int d=;(<<d)<n;d++){
         int m=<<d,m2=m<<;
         ll _w=t==?g[d]:ng[d];///////////////////////////////////

         for(int i=;i<n;i+=m2)for(ll w=,j=;j<m;j++){
             ll&A=a[i+j+m],&B=a[i+j],t=mul(w, A);////////////(ll)w*A%P;
             A=B-t;if(A<)A+=P;
             B=B+t;if(B>=P)B-=P;
             w=mul(w, _w);/////////(ll)w*_w%P;/////////////////////
         }
     }
     //if(t==-1)for(int i=0,j=inv[n];i<n;i++)a[i]=mul(a[i], j);///////(ll)a[i]*j%P;
     if(t==-){
         ll j = pow(n, P-);
         for(int i=;i<n;i++)a[i]=mul(a[i], j);
     }
 }
 //给定a,求a的逆元b
 void getinv(ll*a,ll*b,int n){
     if(n==){b[]=pow(a[],P-);return;}
     getinv(a,b,n>>);
     int k=n<<,i;
     for(i=;i<n;i++)tmp[i]=a[i];
     for(i=n;i<k;i++)tmp[i]=b[i]=;
     NTT(tmp,k,),NTT(b,k,);

     for(i=;i<k;i++){
         ll xx = b[i];
         b[i] = mul(xx, (P+-mul(xx, tmp[i]))%P);
     //b[i]=(ll)b[i]*(2-(ll)tmp[i]*b[i]%P)%P;
     //if(b[i]<0)b[i]+=P;
     }
     NTT(b,k,-);
     for(i=n;i<k;i++)b[i]=;
 }
 int main(){
     for(g[K]=pow(G,(P-)/N),ng[K]=pow(g[K],P-),i=K-;~i;i--){
         //g[i]=(ll)g[i+1]*g[i+1]%P,ng[i]=(ll)ng[i+1]*ng[i+1]%P;
         g[i] = mul(g[i+], g[i+]);
         ng[i] = mul(ng[i+], ng[i+]);
     }
     //for(inv[1]=1,i=2;i<=N;i++)inv[i]=(ll)(P-inv[P%i])*(P/i)%P;inv2=inv[2];
     while(scanf("%lld", &n), n){
         int len = ;
         while(len <= n) len <<= ;
         //len <= 131072
         a[] = (P-)%;
         for(i = ; i <= n; i++){
             scanf("%lld", a+i);
             a[i] %= ;
         }
         for(i = n+; i < len; i++) a[i] = ;

         getinv(a, b, len);
         b[n] = b[n]%*(P-1LL)%;
 //        for(i = 0; i < len; i++)
 //            b[i] = mul(b[i], P-1);
 //              b[i] = b[i]*(P-1LL)%P;
         printf("%lld\n", b[n]);
     }
     return ;
 }