N人报数第M人出列游戏问题(约瑟夫问题)
这是一道华为的机试题,后来才知道也叫约瑟夫问题,题目是这样的:有n个人围成一圈,玩一个游戏,规则为将该n个人编号为1,2,......n, 从编号为1的人开始依次循环报数,报道第m的时候将第m个人从队伍中出列,然后从下一个人开始,又依次从1,2,....m报数,每次将报数为第m的人出列,直到最后只剩下1个人为止,则剩下的最后一個人获得游戏的胜利,现在给定n和m(n,m>0),让你求出哪位队员将获得游戏的胜利?
分析如下
假设每次队列的编号为:1, 2, 3......n,那么报数为m的人,编号应该为m % n,如下
1, 2, 3, ......m%n-1, m%n, m%n+1......n
我们取n=5, m=3为例,方便分析,则第一次报数情况为:
1, 2, 3, 4, 5
现在,报数应该从编号为4的人开始,咱们将整个队列重新编号为如下(应为下一轮报数第一个人应该为编号为4的人):
3, 4, 1, 2
由此可见,问题规模缩减为n=4, m=3的问题,继续进行如上的运算,依次为:
1, 2, 3
1, 2
1
最后问题化解为规模为n=1, m=3的问题, 此时毫无疑问,结果即为1, 那么各个问题的结果之间有没有关系呢?当然,是有的,我们将上述各个子问题的中间结果写成如下形式,方便发现规律(带下划线的表示该规模问题对应的报数为m的人,X表示为空):
1 2 3 4 5
3 4 X 1 2
X 1 X 2 3
X 1 X 2 X
X X X 1 X
可知最后结果为1, 但是其对应的列号为4,其实4就是问题的答案,那么如何得到4呢?事实上,每一步中间结果是有关系的,1推出2, 2推出2, 2推出1, 1推出4, 即得到了结果,至于如何推出的,接下来我们继续分析:
假设第i次的报数情景为:
1, 2, 3, ......m%n-1, m%n, m%n+1......n,
当:m%n <n-1
第i+1次的报数情景则应该为
n-m%n+1, n-m%n+2, n-m%n+3,...... 1, 2, ......n-m%n
任意一个两次都出现过的人,编号(设为B)关系有Bi = (Bi+1 + m%n) % n;
当:m%n = n-1时:
第i+1次报数的情景则为
1, 2, 3, ......m%n-1
任意一个两次都出现在队伍中的人,编号关系为Bi = Bi+1 + m%n
综合根据第i+1次结果得到第i次的结果表达式为:
Bi = (Bi+1 + m % n) %n == 0? Bi+1 + m%n : (Bi+1 + m % n) %n
用递归实现的C代码如下
#include <stdio.h>
int solve(int n, int m) {
int t;
if (n == )
return ;
return ((t= ((solve(n - , m) + m % n) % n)) == )?n:t;
}
int main(int argc, char **argv) {
int n, m, r;
scanf("%d %d", &n, &m);
r = solve(n, m);
printf("%d", r);
}
当然,递归效率还是比较低,这个转非递归的迭代很简单。
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