[实变函数]5.2 非负简单函数的 Lebesgue 积分

1 设        $$\bex        \phi(x)=\sum_{i=1}^j c_i\chi_{E_i}(x),\quad c_i\geq 0,        \eex$$

其中        $$\bex        E_i\mbox{ 可测},\quad E_i\mbox{ 两两不交},\quad E=\cup_{i=1}^j E_i,        \eex$$

则定义        $$\bex        \int_E \phi(x)\rd x=\sum_{i=1}^j c_i\cdot mE_i.        \eex$$

若 $A(\subset E)$ 可测, 则定义        $$\bex        \int_A\phi(x)\rd x=\sum_{i=1}^j c_i\cdot m(E_i\cap A).        \eex$$

2 例: $\dps{D(x)=\sedd{\ba{ll}    1,&x\in\bbQ,\\    0,&x\in\bbR\bs \bbQ    \ea}}$ 的积分为    $$\bex    \int_{\bbR}D(x)\rd x    =1\cdot m(\bbQ)+0\cdot m(\bbR\bs \bbQ)=0.    \eex$$

3 性质: 设 $\phi(x),\psi(x)$ 为非负简单函数, 则

(1) 正齐次性    $$\bex    c\geq 0\ra \int_Ec\phi(x)\rd x        =c\int_E \phi(x)\rd x.    \eex$$

证明:    $$\beex    \bea    \int_Ec\phi(x)\rd x    =\sum_{i=1}^j cc_i\cdot mE_i    =c\sum_{i=1}^j c_i\cdot mE_i    =c\int_E\phi(x)\rd x.    \eea    \eeex$$

(2) 有限可加性    $$\bex    \int_E[\phi(x)+\psi(x)]\rd x    =\int_E \phi(x)\rd x    +\int_E \psi(x)\rd x.    \eex$$

证明:    $$\beex    \bea    &\quad \phi(x)=\sum_{i=1}^j c_i\chi_{E_i},\quad    \psi(x)=\sum_{k=1}^l d_k\chi_{F_k}\\    &\ra \phi(x)+\psi(x)    =\sum_{i=1}^j    \sum_{k=1}^l    (c_i+d_k)\chi_{E_i\cap F_k}\\    &\ra \int_E[\phi(x)+\psi(x)]\rd x        =\sum_{i=1}^j    \sum_{k=1}^l (c_i+d_k)\cdot m(E_i\cap F_k)\\    &\qquad\qquad\qquad \ \ =    \sum_{i=1}^j c_i\sum_{k=1}^l m(E_i\cap F_k)    +\sum_{k=1}^l d_k\sum_{i=1}^jm(E_i\cap F_k)\\    &\qquad\qquad\qquad \ \ =\sum_{i=1}^j c_i\cdot mE_i    +\sum_{k=1}^l d_k\cdot mF_k\\    &\qquad\qquad\qquad \ \ =    \int_E\phi(x)\rd x    +\int_E\psi(x)\rd x.    \eea    \eeex$$

(3) 对积分区域的有限可加性    $$\bex    A,B(\subset E)\mbox{ 可测}\ra    \int_{A\cup B}\phi(x)\rd x    =\int_A\phi(x)\rd x    +\int_B\phi(x)\rd x.    \eex$$

证明:    $$\beex    \bea    \int_{A\cup B}\phi(x)\rd x    &=\sum_{i=1}^j c_i\cdot m(E\cap(A\cup B))\\    &=\sum_{i=1}^j c_i \cdot [m(E\cap A)+m(E\cap B)]\\    &\quad\sex{\mbox{在可测集 }A\mbox{ 的定义中取试验集 }T=E\cap (A\cap B)}\\    &=\int_A\phi(x)\rd x    +\int_B\phi(x)\rd x.    \eea    \eeex$$

(4) 单增积分区域的极限    $$\bex    A_i(\subset E)\mbox{ 单增}\ra    \lim_{i\to\infty}\int_{A_i}\phi(x)\rd x    =\int_{\lim_{i\to\infty}A_i}\phi(x)\rd x.    \eex$$

证明:    $$\beex    \bea    \lim_{i\to\infty}\int_{A_i}\phi(x)\rd x    &=\lim_{i\to\infty}\sum_{i=1}^j c_i\cdot m(E\cap A_i)\\    &=\sum_{i=1}^jc_i\cdot m \sex{E\cap \lim_{i\to\infty}A_i}\\    &=\int_{\lim_{i\to\infty}A_i}\phi(x)\rd x.    \eea    \eeex$$

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