[问题2014A03] 解答

[问题2014A03]  解答

注意到 \((A^*)^*\) 的第 (1,1) 元素是 \(A^*\) 的第 (1,1) 元素的代数余子式, 即为

\[\begin{vmatrix} A_{22} & A_{32} & \cdots & A_{n2} \\ A_{23} & A_{33} & \cdots & A_{n3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{2n} & A_{3n} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix}.\]

因此我们可以更一般的证明如下结论: 若 \(n\geq 3\), 则 \((A^*)^*=|A|^{n-2}A\). 这是复旦高代教材第三版第 112 页的复习题 32, 其解答可以参考复旦高代白皮书第 43 页例 2.15. 当 \(A\) 是非异阵时, 结论很容易证明; 当 \(A\) 是奇异阵时, 可用相抵标准型或摄动法来处理. \(\Box\)