LeetCode #329. Longest Increasing Path in a Matrix

题目

Given an integer matrix, find the length of the longest increasing path.

From each cell, you can either move to four directions: left, right, up or down. You may NOT move diagonally or move outside of the boundary (i.e. wrap-around is not allowed).

Example 1:

nums = [
  [9,9,4],
  [6,6,8],
  [2,1,1]
]

Return 4
The longest increasing path is [1, 2, 6, 9].

Example 2:

nums = [
  [3,4,5],
  [3,2,6],
  [2,2,1]
]

Return 4
The longest increasing path is [3, 4, 5, 6]. Moving diagonally is not allowed.

Credits:
Special thanks to @dietpepsi for adding this problem and creating all test cases.

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题目大意：给出一个矩阵，求矩阵中最大增序列的长度。

简单的思路

这道题可以看作一个四叉树的深度优先搜索。

为什么题目中的矩阵可以看作四叉树？因为两个相邻元素，只有大小不相等时，才会有一条边，从大的元素指向小的元素。这样连接之后不可能出现环，因为若有环存在，说明有a>b>…>a，显然不成立。连接完所有的边之后，以最小元素为根，上下左右四个邻居为子结点，形成了一颗四叉树。

想要求最大递增序列，就是从根节点到最深的叶子结点，也就是求这棵四叉树的深度。思路是遍历矩阵的元素，对于每一个元素，求出其相邻且比它更大的元素的深度，取其最大值加一后作为自己的深度。

采用普通的深度优先算法，需要递归调用，效率比较低。

递归过程：

如果该元素相邻元素可以访问（在边界内、比当前元素大），就依次求出邻居的深度，取最大值加一作为自己的深度。递归出口：没有可访问邻居，深度为1（只有自己）。

改进的思路

增加一个memo矩阵，作为记录。对于没有访问过的元素，置其值为0，代表没有访问过。对于访问的元素，求出当前元素的深度，存在memo中。

代码如下：

class Solution {
public:
    int longestIncreasingPath(vector<vector<int>>& matrix) {
        if (matrix.size() == )
            return ;
        int width = matrix[].size();
        int height = matrix.size();
        int result = ;
        vector<vector<int>> memo(height, vector<int>(width, ));
        for (int i = ; i < height; i++)
            for (int j = ; j < width; j++)
            {
                int tmp = nprocess(matrix, i, j, height, width, memo);
                if (tmp > result)
                     result=tmp;
            }
        return result;
    }

    int nprocess(vector<vector<int>> &matrix, int i, int j, int m, int n, vector<vector<int>> &memo)
    {
        if (memo[i][j] != ) return memo[i][j];
        memo[i][j] = ;
        vector<vector<int>> shift{ { , - }, { ,  }, { -,  }, { ,  } };
        int max = ;
        for (int k = ; k < ; k++)
        {
            int x = i + shift[k][];
            int y = j + shift[k][];
            if ((x < m) && (x >= ) && (y<n) && (y >= ) && (matrix[x][y]>matrix[i][j]))
            {
                int tmp = nprocess(matrix, x, y, m, n, memo) + ;
                if (tmp > max)
                    max = tmp;
            }
        }
        memo[i][j] = max;
        return max;
    }
};

总结

重点是对于递归过程的优化。

一个问题是，将矩阵转换成四叉树。我一开始的想法，是将矩阵转换成有向图，考虑到可能存在的环路i，在深度遍历中加入了一个矩阵表示该结点是否被访问过。事实是，这个矩阵不可能是有环路的有向图（不存在a>b>…>a），这样就退化成了一棵四叉树。所以，因为没有环路的存在，是否被访问过的结点在未加入记忆矩阵的深度优先中没有作用。