文本比较算法Ⅱ——Needleman/Wunsch算法
在“文本比较算法Ⅰ——LD算法”中介绍了基于编辑距离的文本比较算法——LD算法。
本文介绍基于最长公共子串的文本比较算法——Needleman/Wunsch算法。
还是以实例说明:字符串A=kitten,字符串B=sitting
那他们的最长公共子串为ittn(注:最长公共子串不需要连续出现,但一定是出现的顺序一致),最长公共子串长度为4。
定义:
LCS(A,B)表示字符串A和字符串B的最长公共子串的长度。很显然,LSC(A,B)=0表示两个字符串没有公共部分。
Rev(A)表示反转字符串A
Len(A)表示字符串A的长度
A+B表示连接字符串A和字符串B
性质:
LCS(A,A)=Len(A)
LCS(A,"")=0
LCS(A,B)=LCS(B,A)
0≤LCS(A,B)≤Min(Len(A),Len(B))
LCS(A,B)=LCS(Rev(A),Rev(B))
LCS(A+C,B+C)=LCS(A,B)+Len(C)
LCS(A+B,A+C)=Len(A)+LCS(B,C)
LCS(A,B)≥LCS(A,C)+LCS(B,C)
LCS(A+C,B)≥LCS(A,B)+LCS(B,C)
为了讲解计算LCS(A,B),特给予以下几个定义
A=a1a2……aN,表示A是由a1a2……aN这N个字符组成,Len(A)=N
B=b1b2……bM,表示B是由b1b2……bM这M个字符组成,Len(B)=M
定义LCS(i,j)=LCS(a1a2……ai,b1b2……bj),其中0≤i≤N,0≤j≤M
故: LCS(N,M)=LCS(A,B)
LCS(0,0)=0
LCS(0,j)=0
LCS(i,0)=0
对于1≤i≤N,1≤j≤M,有公式一
若ai=bj,则LCS(i,j)=LCS(i-1,j-1)+1
若ai≠bj,则LCS(i,j)=Max(LCS(i-1,j-1),LCS(i-1,j),LCS(i,j-1))
计算LCS(A,B)的算法有很多,下面介绍的Needleman/Wunsch算法是其中的一种。和LD算法类似,Needleman/Wunsch算法用的都是动态规划的思想。在Needleman/Wunsch算法中还设定了一个权值,用以区分三种操作(插入、删除、更改)的优先级。在下面的算法中,认为三种操作的优先级都一样。故权值默认为1。
举例说明:A=GGATCGA,B=GAATTCAGTTA,计算LCS(A,B)
第一步:初始化LCS矩阵
G | A | A | T | T | C | A | G | T | T | A | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
G | 0 | |||||||||||
G | 0 | |||||||||||
A | 0 | |||||||||||
T | 0 | |||||||||||
C | 0 | |||||||||||
G | 0 | |||||||||||
A | 0 |
第二步:利用公式一,计算矩阵的第一行
G | A | A | T | T | C | A | G | T | T | A | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
G | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
G | 0 | |||||||||||
A | 0 | |||||||||||
T | 0 | |||||||||||
C | 0 | |||||||||||
G | 0 | |||||||||||
A | 0 |
第三步:利用公式一,计算矩阵的其余各行
G | A | A | T | T | C | A | G | T | T | A | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
G | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
G | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
A | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
T | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
C | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
G | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 |
A | 0 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 6 |
则,LCS(A,B)=LCS(7,11)=6
可以看出,Needleman/Wunsch算法实际上和LD算法是非常接近的。故他们的时间复杂度和空间复杂度也一样。时间复杂度为O(MN),空间复杂度为O(MN)。空间复杂度经过优化,可以优化到O(M),但是一旦优化就丧失了计算匹配字串的机会了。由于代码和LD算法几乎一样。这里就不再贴代码了。
还是以上面为例A=GGATCGA,B=GAATTCAGTTA,LCS(A,B)=6
他们的匹配为:
A:GGA_TC_G__A
B:GAATTCAGTTA
如上面所示,蓝色表示完全匹配,黑色表示编辑操作,_表示插入字符或者是删除字符操作。如上面所示,蓝色字符有6个,表示最长公共子串长度为6。
利用上面的Needleman/Wunsch算法矩阵,通过回溯,能找到匹配字串
第一步:定位在矩阵的右下角
G | A | A | T | T | C | A | G | T | T | A | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
G | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
G | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
A | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
T | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
C | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
G | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 |
A | 0 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 6 |
第二步:回溯单元格,至矩阵的左上角
若ai=bj,则回溯到左上角单元格
G | A | A | T | T | C | A | G | T | T | A | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
G | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
G | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
A | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
T | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
C | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
G | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 |
A | 0 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 6 |
若ai≠bj,回溯到左上角、上边、左边中值最大的单元格,若有相同最大值的单元格,优先级按照左上角、上边、左边的顺序
G | A | A | T | T | C | A | G | T | T | A | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
G | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
G | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
A | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
T | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
C | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
G | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 |
A | 0 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 6 |
若当前单元格是在矩阵的第一行,则回溯至左边的单元格
若当前单元格是在矩阵的第一列,则回溯至上边的单元格
G | A | A | T | T | C | A | G | T | T | A | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
G | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
G | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
A | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
T | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
C | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
G | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 |
A | 0 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 6 |
依照上面的回溯法则,回溯到矩阵的左上角
第三步:根据回溯路径,写出匹配字串
若回溯到左上角单元格,将ai添加到匹配字串A,将bj添加到匹配字串B
若回溯到上边单元格,将ai添加到匹配字串A,将_添加到匹配字串B
若回溯到左边单元格,将_添加到匹配字串A,将bj添加到匹配字串B
搜索晚整个匹配路径,匹配字串也就完成了
可以看出,LD算法和Needleman/Wunsch算法的回溯路径是一样的。这样找到的匹配字串也是一样的。
不过,Needleman/Wunsch算法和LD算法一样,若要找出匹配字串,空间的复杂度就一定是O(MN),在文本比较长的时候,是极为耗用存储空间的。故若要计算出匹配字串,还得用其他的算法,留待后文介绍。
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