Scalaz（17）－ Monad：泛函状态类型－State Monad

我们经常提到函数式编程就是F[T]。这个F可以被视为一种运算模式。我们是在F运算模式的壳子内对T进行计算。理论上来讲，函数式程序的运行状态也应该是在这个运算模式壳子内的，也是在F[]内更新的。那么我们就应该像函数式运算T值一样，也有一套函数式更新程序状态的方法。之前我们介绍了Writer Monad。Writer也是在F[]内维护Log的，可以说是一种状态维护方式。但Writer的Log是一种Monoid类型，只支持Semigroup的a|+|b操作，所以只能实现一种两段Log相加累积这种效果。WriterT的款式是这样的：

final case class WriterT[F[_], W, A](run: F[(W, A)]) { self =>
...

Writer是WriterT的一个F[_] >>> Id特例，那么它的款式也可以被视作这样：

final case class Writer[W, A](run: (W, A)) { self =>

注意这个(W,A)参数，这是一种典型的函数式编程状态维护方式。因为函数式编程强调使用不可变数据（immutable），所以维护状态的方式就是传入当前状态值W然后必须返回新的状态值。由于Writer是个Monad，通过flatMap可以把状态值W在运算之间连续下去。这点我们可以从WriterT的flatMap函数得出：

  def flatMap[B](f: A => WriterT[F, W, B])(implicit F: Bind[F], s: Semigroup[W]): WriterT[F, W, B] =
    flatMapF(f.andThen(_.run))

  def flatMapF[B](f: A => F[(W, B)])(implicit F: Bind[F], s: Semigroup[W]): WriterT[F, W, B] =
    writerT(F.bind(run){wa =>
      val z = f(wa._2)
      F.map(z)(wb => (s.append(wa._1, wb._1), wb._2))
    })

以上的flatMapF函数把上一个运算的W与下一个运算的W用Monoid操作结合起来s.append(wa._1,wb._1)。Writer类型款式的一个特点就是这个（W,A）返回类型，就是把状态和运算值传入再同时返回。不过对状态的操作只能局限在Monoid操作。曾经提到过Writer还可以被理解成一种特别的状态维护，只是目标锁定在了Log的更新。那么真正意义的状态类型State Monad又是怎样的呢？我们先看看State是怎样定义的：scalaz/package.scala

  type StateT[F[_], S, A] = IndexedStateT[F, S, S, A]
  type IndexedState[-S1, S2, A] = IndexedStateT[Id, S1, S2, A]
  /** A state transition, representing a function `S => (S, A)`. */
  type State[S, A] = StateT[Id, S, A]

State是StateT的Id特殊案例，而StateT又是IndexedStateT的S1=S2特殊案例。那我们就从最概括的类型IndexedStateT开始介绍吧。下面是IndexedStateT的定义：scalaz/StateT.scala

trait IndexedStateT[F[_], -S1, S2, A] { self =>
  /** Run and return the final value and state in the context of `F` */
  def apply(initial: S1): F[(S2, A)]

  /** An alias for `apply` */
  def run(initial: S1): F[(S2, A)] = apply(initial)

  /** Calls `run` using `Monoid[S].zero` as the initial state */
  def runZero[S <: S1](implicit S: Monoid[S]): F[(S2, A)] =
    run(S.zero)

  /** Run, discard the final state, and return the final value in the context of `F` */
  def eval(initial: S1)(implicit F: Functor[F]): F[A] =
    F.map(apply(initial))(_._2)

  /** Calls `eval` using `Monoid[S].zero` as the initial state */
  def evalZero[S <: S1](implicit F: Functor[F], S: Monoid[S]): F[A] =
    eval(S.zero)

  /** Run, discard the final value, and return the final state in the context of `F` */
  def exec(initial: S1)(implicit F: Functor[F]): F[S2] =
    F.map(apply(initial))(_._1)

  /** Calls `exec` using `Monoid[S].zero` as the initial state */
  def execZero[S <: S1](implicit F: Functor[F], S: Monoid[S]): F[S2] =
    exec(S.zero)
...

IndexedStateT的抽象函数是这个apply(initial:S1):F[(S2,A)]，它的函数款式是：S1=>F[(S2,A)]，意思是传入S1,把结果包在F里以F[(W,A)]返回。如果F[]=Id的话，那就是S1=>(S2,A)了。函数run就是apply，就是一种状态运算函数：传入状态S1，通过运算返回计算值A和新状态S2，并把结果包在F[(S2,A)]里。其它函数都是用来获取新的运算值或新状态的，如：eval返回F[A]，exec返回F[S2]。值得注意的是这个F必须是Functor才行，因为我们必须用map才能在F[]内更新运算值或状态。当然，如果我们使用State类型的话，F就是Id，那么run=>(s,a),eval=>a,exec=>s。与Writer比较，State Monad通过一个状态运算函数功能要强大得多了，运用也要灵活许多。

我们再来看看IndexedStateT的map,flatMap:

 def map[B](f: A => B)(implicit F: Functor[F]): IndexedStateT[F, S1, S2, B] = IndexedStateT(s => F.map(apply(s)) {
    case (s1, a) => (s1, f(a))
  })
 def flatMap[S3, B](f: A => IndexedStateT[F, S2, S3, B])(implicit F: Bind[F]): IndexedStateT[F, S1, S3, B] = IndexedStateT(s => F.bind(apply(s)) {
    case (s1, a) => f(a)(s1)
  })

特别注意flatMap：F必须是Monad，这样就可以在连接两个IndexedStateT时先后运行它们的状态运算函数S1=>F[(S2,A)]，即：apply(s)和f(a)(s1)。

如果不出意料的话，IndexedStateT的构建方式就是传入一个状态运算函数S1=>F[(S2,A)]：

object IndexedStateT extends StateTInstances with StateTFunctions {
  def apply[F[_], S1, S2, A](f: S1 => F[(S2, A)]): IndexedStateT[F, S1, S2, A] = new IndexedStateT[F, S1, S2, A] {
    def apply(s: S1) = f(s)
  }
}

传入的函数f实现了抽象函数run使IndexedStateT实例化。

State Monad应该需要一套读写、传递状态的方法。这些方法可以在MonadState trait里找到：scalaz/MonadState.scala

trait MonadState[F[_,_],S] extends Monad[({type f[x]=F[S,x]})#f] {
  def state[A](a: A): F[S, A] = bind(init)(s => point(a))
  def constantState[A](a: A, s: => S): F[S, A] = bind(put(s))(_ => point(a))
  def init: F[S, S]
  def get: F[S, S]
  def gets[A](f: S => A): F[S, A] = bind(init)(s => point(f(s)))
  def put(s: S): F[S, Unit]
  def modify(f: S => S): F[S, Unit] = bind(init)(s => put(f(s)))
}

object MonadState {
  def apply[F[_,_],S](implicit F: MonadState[F, S]) = F
}

MonadState是个抽象类型，因为它继承了Monad类但并没有实现Monad的抽象函数point和bind。所以这些状态维护函数必须在MonadState子类实例存在的情况下才能使用。这个情况在object MonadState里的apply函数的隐式参数F可以推断得出。IndexedStateT就是MonadState的子类，所以通过IndexedStateT的实例来施用状态运算函数是没用什么问题的。以下是这些操作函数的实现：

private trait StateTMonadState[S, F[_]] extends MonadState[({type f[s, a] = StateT[F, s, a]})#f, S] {
  implicit def F: Monad[F]

  def bind[A, B](fa: StateT[F, S, A])(f: A => StateT[F, S, B]): StateT[F, S, B] = fa.flatMap(f)

  def point[A](a: => A): StateT[F, S, A] = {
    lazy val aa = a
    StateT(s => F.point(s, aa))
  }

  def init: StateT[F, S, S] = StateT(s => F.point((s, s)))

  def get = init

  def put(s: S): StateT[F, S, Unit] = StateT(_ => F.point((s, ())))

  override def modify(f: S => S): StateT[F, S, Unit] = StateT(s => F.point((f(s), ())))

  override def gets[A](f: S => A): StateT[F, S, A] = StateT(s => F.point((s, f(s))))
}

我们现在可以尝试一些简单的State Monad使用案例，先试着模仿一个数字堆栈(Integer Stack)操作：

   type Stack = List[Int]
   def pop: State[Stack, Int] = State { case h::t => (t,h) }
                                                   //> pop: => scalaz.State[Exercises.stateT.Stack,Int]
   def push(a: Int): State[Stack, Unit] = State { xs => (a :: xs, ()) }
                                                   //> push: (a: Int)scalaz.State[Exercises.stateT.Stack,Unit]

pop和push操作结果都是State，State是Monad，这样我们就可以用for-comprehension来演示具体操作了：

  val prg = for {
     _ <- push()
     _ <- push()
     _ <- push()
     a <- pop
     b <- get
     _ <- pop
     _ <- put(List())
   } yield b                                       //> prg  : scalaz.IndexedStateT[scalaz.Id.Id,Exercises.stateT.Stack,List[Int],E
                                                   //| xercises.stateT.Stack] = scalaz.IndexedStateT$$anon$10@72d1ad2e
   prg.run(List())                                 //> res2: scalaz.Id.Id[(List[Int], Exercises.stateT.Stack)] = (List(9),List(2,
                                                   //| 1))

prg只是一段功能描述，因为状态运算函数是个lambda: s => (s,a)。这里s是个未知数，它在for loop里逐层传递下去。运算结果需要通过运行run函数并提供初始状态值List()后才能获取，也就是说真正的运算是在运行run时才开始的。我们称run为程序prg的翻译器（interpreter），这是函数式编程的典型模式，这样可以把具体运算延到最后。

我们再看看如何读写状态：

   val prg = for {
     _ <- push()
     _ <- push()
     _ <- push()
     a <- pop
     b <- get     //(s,s)
     c <- gets { s:Stack => s.length} //(s,s.length)
     _ <- pop
     _ <- put(List())  //(List(9),a)
     _ <- modify {s:Stack => s ++ List() } //(List(9,10),a)
   } yield c                                       //> prg  : scalaz.IndexedStateT[scalaz.Id.Id,Exercises.stateT.Stack,List[Int],I
                                                   //| nt] = scalaz.IndexedStateT$$anon$10@72d1ad2e
   prg.run(List())                                 //> res2: scalaz.Id.Id[(List[Int], Int)] = (List(9, 10),2)

实际上在StateT里已经实现了filter函数，可以看看下面的例子：

 val prg1 = for {
     _ <- push()
     _ <- push()
     _ <- push()
     a <- pop
     b <- if (a ==  ) put(List(,,)) else put(List(,,))
   } yield b                                       //> prg1  : scalaz.IndexedStateT[scalaz.Id.Id,Exercises.stateT.Stack,List[Int],
                                                   //| Unit] = scalaz.IndexedStateT$$anon$10@3349e9bb
   prg1.run(List())                                //> res4: scalaz.Id.Id[(List[Int], Unit)] = (List(1, 2, 3),())

因为StateT实现了MonadPlus实例：scalaz/StateT.scala

private trait StateTMonadStateMonadPlus[S, F[_]] extends StateTMonadState[S, F] with StateTHoist[S] with MonadPlus[({type λ[α] = StateT[F, S, α]})#λ] {
  implicit def F: MonadPlus[F]

  def empty[A]: StateT[F, S, A] = liftM[F, A](F.empty[A])

  def plus[A](a: StateT[F, S, A], b: => StateT[F, S, A]): StateT[F, S, A] = StateT(s => F.plus(a.run(s), b.run(s)))
}

当然，这个StateT的F必须是MonadPlus实例。liftM能把Monad生格成StateT:

  def liftM[G[_], A](ga: G[A])(implicit G: Monad[G]): StateT[G, S, A] =
    StateT(s => G.map(ga)(a => (s, a)))

IndexedStateT还有一个挺有趣的函数lift。在FP风格里lift总是起到搭建OOP到FP通道的作用。我们先来看个例子：

  def incr: State[Int,Int] = State { s => (s+,s)}//> incr: => scalaz.State[Int,Int]
   incr.replicateM().evalZero[Int]               //> res3: List[Int] = List(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

从运算结果来看还是正常的。但如果我这样用：

  incr.replicateM().runZero[Int]             //> java.lang.StackOverflowError

啊！StackOverflowError。解决堆栈溢出其中一个方法是使用Trampoline结构，以heap换stack。Trampoline就是Free Monad的一个特殊案例，我们后面会详细介绍Free Monad。现在可以用lift把F[(S2,A)]升格成M[F[(S2,A)]]:

  def lift[M[_]: Applicative]: IndexedStateT[({type λ[α]=M[F[α]]})#λ, S1, S2, A] = new IndexedStateT[({type λ[α]=M[F[α]]})#λ, S1, S2, A] {
    def apply(initial: S1): M[F[(S2, A)]] = Applicative[M].point(self(initial))
  }

我们可以把State返回类型升格成为Trampoline，就像这样：

  import scalaz.Free.Trampoline
   incr.lift[Trampoline].replicateM().evalZero[Int]
                                                   //> res4: scalaz.Free[Function0,List[Int]] = Gosub()

现在看看解决了StackOverflowError问题没有：

  import scalaz.Free.Trampoline
  incr.lift[Trampoline].replicateM().evalZero[Int].run.take()
                                                  //> res4: List[Int] = List(0, 1, 2, 3, 4)

问题解决。注意上面的表达式后面加多了一个run指令，这是因为现在返回的类型已经是Trampoline了。再看另外一个例子，我们用State在List里添加行号：

  def zipIndex[A](xs: List[A]): List[(A, Int)] =
     xs.foldLeft(State.state[Int,List[(A,Int)]](List()))(
        (acc, a) => for {
           xn <- acc
           n <- get[Int]
           _ <- put[Int](n+)
      } yield (a,n) :: xn).evalZero.reverse        //> zipIndex: [A](xs: List[A])List[(A, Int)]

   zipIndex( |-> )                               //> res5: List[(Int, Int)] = List((1,0), (2,1), (3,2), (4,3), (5,4))

同样，我也可以把返回类型升格成Trampoline：

  def zipIndex[A](xs: List[A]): List[(A, Int)] =
     xs.foldLeft(State.state[Int,List[(A,Int)]](List()))(
        (acc, a) => for {
           xn <- acc
           n <- get[Int]
           _ <- put[Int](n+)
      } yield (a,n) :: xn).lift[Trampoline].evalZero.run.reverse.take()
                                                   //> zipIndex: [A](xs: List[A])List[(A, Int)]

   zipIndex( |-> )                            //> res5: List[(Int, Int)] = List((1,0), (2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (7,
                                                   //| 6), (8,7), (9,8), (10,9))

看起来可以升格到Trampoline，但实际上还没有解决StackOverflowError问题。这个细节就留在后面我们讨论Free Monad时再研究吧。

作为一种惯例，我们还是看看scalaz提供的用例有什么值得注意的：scalaz-example/StateTUsage.scala

object StateTUsage extends App {
  import StateT._

  def f[M[_]: Functor] {
    Functor[({type l[a] = StateT[M, Int, a]})#l]
  }

  def m[M[_]: Monad] {
    Applicative[({type l[a] = StateT[M, Int, a]})#l]
    Monad[({type l[a] = StateT[M, Int, a]})#l]
    MonadState[({type f[s, a] = StateT[M, s, a]})#f, Int]
  }

  def state() {
    val state: State[String, Int] = State((x: String) => (x + , ))
    val eval: Int = state.eval("")
    state.flatMap(_ => state)
  }

}

哇塞！这是什么地干活？我只能无奈的告诉你：其实什么也没干，可以在即时编译器里看看：

 import Scalaz._
  import scala.language.higherKinds

  def f[M[_]: Functor] {
    Functor[({type l[a] = StateT[M, Int, a]})#l]
  }                                               //> f: [M[_]](implicit evidence$2: scalaz.Functor[M])Unit

  def m[M[_]: Monad] {
    Applicative[({type l[a] = StateT[M, Int, a]})#l]
    Monad[({type l[a] = StateT[M, Int, a]})#l]
    MonadState[({type f[s, a] = StateT[M, s, a]})#f, Int]
  }                                               //> m: [M[_]](implicit evidence$3: scalaz.Monad[M])Unit

  def state() {
    val state: State[String, Int] = State((x: String) => (x + , ))
    val eval: Int = state.eval("")
    state.flatMap(_ => state)
  }                                               //> state: ()Unit

  f[List]
  m[List]
  state

全部返回Unit。我想它只是示范了如何取得一些type class的StateT实例吧。我们知道，获取了一些type class的StateT实例后就可以对StateT施用这些type class的方法函数了。下面是如何获取这些实例以及简单的type class函数引用：

 //Functor实例
  val fs = Functor[({type l[a] = StateT[List, Int, a]})#l]
                                                   //> fs  : scalaz.Functor[[a]scalaz.IndexedStateT[[+A]List[A],Int,Int,a]] = scala
                                                   //| z.StateTInstances1$$anon$1@12468a38
  State[Int,Int] {s => (s+,s)}                    //> res0: scalaz.State[Int,Int] = scalaz.package$State$$anon$3@1aa7ecca
  val st = StateT[List, Int, Int](s => List((s,s)))//> st  : scalaz.StateT[List,Int,Int] = scalaz.package$StateT$$anon$1@6572421
  fs.map(st){a => a + }.run()                    //> res1: List[(Int, Int)] = List((0,1))
  //MonadState实例
  val ms = MonadState[({type f[s, a] = StateT[List, s, a]})#f, Int]
                                                   //> ms  : scalaz.MonadState[[s, a]scalaz.IndexedStateT[[+A]List[A],s,s,a],Int] =
                                                   //|  scalaz.StateTInstances1$$anon$1@3c19aaa5
  ms.state().run()                               //> res2: List[(Int, Int)] = List((0,1))
  //Monad实例
  val monad = Monad[({type l[a] = StateT[List, Int, a]})#l]
                                                   //> monad  : scalaz.Monad[[a]scalaz.IndexedStateT[[+A]List[A],Int,Int,a]] = scal
                                                   //| az.StateTInstances1$$anon$1@689604d9
  monad.bind(st){a => StateT(a1 => List((a1,a)))}.run()
  //Applicative实例                                  //> res3: List[(Int, Int)] = List((0,0))
  val ap = Applicative[({type l[a] = StateT[List, Int, a]})#l]
                                                   //> ap  : scalaz.Applicative[[a]scalaz.IndexedStateT[[+A]List[A],Int,Int,a]] = s
                                                   //| calaz.StateTInstances1$$anon$1@18078bef
  ap.point().run()                               //> res4: List[(Int, Int)] = List((0,0))

这个state()函数呢？更是摸不着头脑，可能纯是从类型匹配方面示范吧。我们看看它的内里都干了什么：

 // def state() {
  //构建一个State实例。每次它的状态会加个!符号
     val state: State[String, Int] = State((x: String) => (x + "!", ))
                                                   //> state  : scalaz.State[String,Int] = scalaz.package$State$$anon$3@1e67b872
  //运算值不变
     val eval: Int = state.eval("")                //> eval  : Int = 0
  //连续两次运行状态运算函数。加两个!
     state.flatMap(_ => state).run("haha")         //> res0: scalaz.Id.Id[(String, Int)] = (haha!!,0)
  // }

那么StateTUsage.scala里其它例子呢？又离不开什么List,Tree,ADT...，太脱离现实了。还是介绍些实际点的例子吧。最好能把在现实应用中如何选择使用State的思路过程示范一下。曾经看到过一个例子是这样的：查询一个网页的跟帖人信息；维护一个cache，存储5分钟内查过的信息；如果在cache里不存在就从数据库里读取，同时更新cache。我们用伪代码来示范。由于我们选择immutable cache，所以按FP惯用方式传入当前cache，返回新cache：

trait Cache
trait FollowerState
def followerState(user: String, cache: Cache): (Cache, FollowerState) = {
    val (c1,ofs) = checkCache(user,cache)  //检查cache里有没有user资料
                                           //c1是新cache,更新了hit或miss count
    ofs match {  //在cache里找到否
        case Some(fs) => (c1,fs)  //找到就返回fs和新cache c1
        case None => retrieve(user,c1) //找不到就从数据库里重新读取
    }
}
//检查cache，更新cache hit/miss count
def checkCache(user: String, cache: Cache): (Cache, Option[FollowerState]) = ...
//从数据库读取user资料，更新加入cache
def retrieve(user: String, cache: Cache): (Cache, FollowerState) = ...

这个cache不就是一种状态嘛。我们现在需要考虑怎么在上面的函数里使用State Monad来维护这个cache。我们先耍点手段，来点函数款式变形（transformation）：

def followerState(user: String, cache: Cache): (Cache, FollowerState)
def followerState(user: String)(cache: Cache): (Cache, FollowerState)
def followerState(user: String): Cache => (Cache, FollowerState)

先用curry分开参数，再部分施用（partially apply）就形成了新的函数款式。其它两个函数也一样：

def checkCache(user: String): Cache => (Cache, Option[FollowerState]) = ...
def retrieve(user: String): Cache => (Cache, FollowerState) = ...

现在followerState可以这样写：

def followerState(user: String): Cache => (Cache, FollowerState) = cache => {
    val (c1,ofs) = checkCache(user,cache)
    ofs match {
        case Some(fs) => (c1,fs)
        case None => retrieve(user,c1)
    }
}

现在这个Cache=>(Cache,FollowerState)不就是一个状态运算函数嘛，Cache是状态，FollowerState是运算值。我们把它包嵌在State内：

def followerState(user: String): State[Cache,FollowerState] = State {
  cache => {
      val (c1,ofs) = checkCache(user,cache)
      ofs match {
          case Some(fs) => (c1,fs)
          case None => retrieve(user,c1)
      }
    }
}

如果把其它函数款式也调整过来，都返回State类型：

def checkCache(user: String): State[Cache,Option[FollowerState]] = ...
def retrieve(user: String): State[Cache,FollowerState] = ...

那么我们可以用for-comprehension:

def followerState(user: String): State[Cache,FollowerState] = for {
    optfs <- checkCache(user)
    fs <- optfs match {
        case Some(fs) => State{ s => (s, fs) }
        case None => retrieve(user)
    }
} yield fs

程序看来简明很多。我们可以这样调用获取查询结果：

followerState("Johny Depp").eval(emptyCache)