[HNOI2018]排列
Description:
给定 \(n\) 个整数 \(a_1, a_2, \dots, a_n, 0 \le a_i \le n\),以及 \(n\) 个整数 \(w_1, w_2, \dots, w_n\)。称 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)的 一个排列 \(a_{p[1]}, a_{p[2]}, \dots, a_{p[n]}\)为 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)的一个合法排列,当且仅当该排列满足:对于任意 的 \(k\) 和任意的 \(j\),如果 \(j \le k\),那么 \(a_{p[j]}\)不等于 \(p[k]\)。(换句话说就是:对于任意的 \(k\) 和任意的 \(j\),如果 \(p[k]\)等于 \(a_{ p[j] }\),那么 $k<j $ 。)定义这个合法排列的权值为 \(w_{p[1]} + 2w_{p[2]} + \dots + nw_{p[n]}\)。
Hint:
\(n \le 5*10^5\)
Solution:
估计很多人是因为看不懂题意才做不出来的。。。
。。。题面真的反人类
如果 \(p[k]\)等于 \(a_{ p[j] }\),那么 $ k<j $
换个说法:
如果 \(p[k]=a_{p[j]}\) 那么 \(k<j\)
即 \(y=a_x\) 且\(y\) 排在 \(x\)前面
又\(a_x=a_x\)
考虑拓扑排序,连边 \(a_x->x\)
这样每个点入度为1
连边后一定是一颗以0为根的树
为什么?因为\(a \in [1,n]\) ,而\(a_i \in [0,n]\)
若图中只有\(n\)个点,那么由于有\(n\)条边
一定成环
所有\(0\)必然为起点
如果有环,则无法满足限制说明合法排列不存在
接下来考虑在树上贪心
每次找到最小的权值\(w_i\),若此时\(fa[i]=0\),则可直接选\(i\)
否则需要把\(w_i\)合并到\(fa[i]\)上,等待\(fa[i]\)选完再选
但有一个问题,这样操作后每个点变成了序列,如何比较优劣?
考虑 $ ab $ 和 $ ba $ 两种合并后的序列的答案(假设当前是第 $ i $ 位)
\]
\]
如果\(W_{ab}\gt W_{ba}\Rightarrow \frac{W_a}{m_1}\lt\frac{W_b}{m_2}\)也就是平均权值小的放前面答案会更优
这里使用 稍加修改的堆+并查集 实现
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mxn=5e5+5;
int n,cnt,tot,f[mxn],s[mxn],hd[mxn],vis[mxn],anc[mxn];
ll ans,w[mxn];
struct ed {
int to,nxt;
}t[mxn<<1];
struct data {
int id,sz;
ll val;
friend bool operator < (data a,data b) {
return a.val*b.sz>b.val*a.sz; //按平均值排序
}
}tp;
priority_queue<data > q;
inline void add(int u,int v) {
t[++cnt]=(ed) {v,hd[u]}; hd[u]=cnt;
}
int find(int x) {
return anc[x]==x?x:anc[x]=find(anc[x]);
}
void dfs(int u,int fa) {
vis[u]=1; ++tot;
for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
int v=t[i].to;
if(v==fa) continue ;
if(vis[v]) {
puts("-1");
exit(0);
}
dfs(v,u);
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n); s[0]=1; //别忘记赋初值
for(int i=1;i<=n;++i) {
scanf("%d",&f[i]);
add(f[i],i); anc[i]=i,s[i]=1;
}
dfs(0,-1); if(tot<n) {puts("-1"); return 0;}
for(int i=1;i<=n;++i) {
scanf("%lld",&w[i]);
q.push((data){i,1,w[i]});
}
while(!q.empty()) {
tp=q.top(); q.pop(); int u=find(tp.id);
if(s[u]!=tp.sz) continue ;/*已经有合并后新的节点,丢弃以前的*/ anc[u]=find(f[u]);
ans+=w[u]*s[anc[u]],s[anc[u]]+=s[u],w[anc[u]]+=w[u]; //每次先计算贡献,再合并
if(anc[u]) q.push((data){anc[u],s[anc[u]],w[anc[u]]});
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
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