ACM数论之旅12---康托展开（(*ﾟ▽ﾟ*)装甲展开，主推进器启动，倒计时3,2,1......）

在我们做题中，搜索也好，动态规划也好，我们往往有时候需要用一个数字表示一种状态

比如有8个灯泡排成一排，如果你用0和1表示灯泡的发光情况

那么一排灯泡就可以转换为一个二进制数字了

比如

01100110 = 102

11110000 = 240

10101010 = 170

通过这些十进制数，只要把他们展开，我们就知道灯泡的状态了

如果这题是一个动态规划题

然后我们就拿这些数字做一些转移了，

比如dp[102],dp[240],dp[170]等等

这对题目很有帮助

上面讲的那些就是所谓的状态压缩了，须知详细的状态压缩可以去百度

或者有机会我自己去写一篇博客（这是flag（/TДT)/）

那对于有些题，我们即使状态压缩后，数字太大，数组都开不下，麻烦的题目（/TДT)/

这些题目也要看情况，比如我接下来要讲的康托展开

康托展开经典题：hdu 1430

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1430

在魔方风靡全球之后不久，Rubik先生发明了它的简化版——魔板。魔板由8个同样大小的方块组成，每个方块颜色均不相同，可用数字1-8分别表示。任一时刻魔板的状态可用方块的颜色序列表示：从魔板的左上角开始，按顺时针方向依次写下各方块的颜色代号，所得到的数字序列即可表示此时魔板的状态。例如，序列(1,2,3,4,5,6,7,8)表示魔板状态为：

1 2 3 4
8 7 6 5

对于魔板，可施加三种不同的操作，具体操作方法如下：

A: 上下两行互换,如上图可变换为状态87654321
B: 每行同时循环右移一格,如上图可变换为41236785
C: 中间4个方块顺时针旋转一格,如上图可变换为17245368

给你魔板的初始状态与目标状态，请给出由初态到目态变换数最少的变换步骤，若有多种变换方案则取字典序最小的那种。

Input

每组测试数据包括两行，分别代表魔板的初态与目态。

 

Output

对每组测试数据输出满足题意的变换步骤。

 

Sample Input

12345678

17245368

12345678

82754631

 

Sample Output

C

AC

我们看这题，总共有8个数字，1~8，假如我们把他们看成0~7

那么每个数字可以转换为一个3位二进制

0:000

1:001

2:010

3:011

4:100

5:101

6:110

7:111

然后12345678这个状态我们可以表示为二进制000001010011100101110111，总共3*8=24位，

2^24 = 16777216，数组根本开不下啊

这时，我们发现了，有一些状态，根本没有用到，因为这题已经规定了有8个数字，每个数字只出现一次

比如000000000000000000000000这个状态，你说可能出现吗？(o ° ω ° O )

这个时候，康托就对这种题目做了研究(o ° ω ° O )

这种每个数字只出现一次的问题的所以情况，总共才n!个情况（这个问题叫做全排列）

康托的一套算法可以正好产生n!个数字

比如：

123  ->  0

132  ->  1

213  ->  2

231  ->  3

312  ->  4

321  ->  5

这是如何做到的(/≥▽≤/)

在峰神的博客里面有很好的解释（对不起了峰神≖‿≖✧，拿过来抄一下）

(/≥▽≤/)好神奇

于是乎，康托展开模板：

 void cantor(int s[], LL num, int k){//康托展开，把一个数字num展开成一个数组s，k是数组长度
     int t;
     bool h[k];//0到k-1，表示是否出现过
     memset(h, , sizeof(h));
     for(int i = ; i < k; i ++){
         t = num / fac[k-i-];
         num = num % fac[k-i-];
         for(int j = , pos = ; ; j ++, pos ++){
             if(h[pos]) j --;
             if(j == t){
                 h[pos] = true;
                 s[i] = pos + ;
                 break;
             }
         }
     }
 }
 void inv_cantor(int s[], LL &num, int k){//康托逆展开，把一个数组s换算成一个数字num
     int cnt;
     num = ;
     for(int i = ; i < k; i ++){
         cnt = ;
         for(int j = i + ; j < k; j ++){
             if(s[i] > s[j]) cnt ++;//判断几个数小于它
         }
         num += fac[k-i-] * cnt;
     }
 }

付上AC代码：

（这代码我在杭电上用c++交竟然CE了，g++就没问题，CE的内容是我的那个模板，说什么不能bool h[k]这样声明类型，c++小心眼，这有什么关系嘛(´・ω・)ﾉ，我还只是个孩子）

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<string>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int N = ;
 queue <LL> que;
 string ans[];
 char str1[], str2[];
 bool vis[];

 int map[];//映射
 int num[];

 LL fac[N];//阶乘
 void change(int s[], int o){//o分别是0,1,2，表示ABC三种变化
     switch(o){
         case :
             for(int i = ; i < ; i ++) swap(s[i], s[-i-]);
             break;
         case :
             for(int i = ; i >= ; i --) swap(s[i], s[i-]);
             for(int i = ; i < ; i ++) swap(s[i], s[i+]);
             break;
         case :
             swap(s[], s[]);
             swap(s[], s[]);
             swap(s[], s[]);
             break;
     }
 }
 void cantor(int s[], LL num, int k){//康托展开，把一个数字num展开成一个数组s，k是数组长度
     int t;
     bool h[k];//0到k-1，表示是否出现过
     memset(h, , sizeof(h));
     for(int i = ; i < k; i ++){
         t = num / fac[k-i-];
         num = num % fac[k-i-];
         for(int j = , pos = ; ; j ++, pos ++){
             if(h[pos]) j --;
             if(j == t){
                 h[pos] = true;
                 s[i] = pos + ;
                 break;
             }
         }
     }
 }
 void inv_cantor(int s[], LL &num, int k){//康托逆展开，把一个数组s换算成一个数字num
     int cnt;
     num = ;
     for(int i = ; i < k; i ++){
         cnt = ;
         for(int j = i + ; j < k; j ++){
             if(s[i] > s[j]) cnt ++;//判断几个数小于它
         }
         num += fac[k-i-] * cnt;
     }
 }
 void init(){
     fac[] = ;
     for(int i = ; i < N; i ++) fac[i] = fac[i-] * i;
     int a[], b[];
     LL temp, temp2;
     que.push();
     vis[] = true;
     while(!que.empty()){
         LL temp = que.front(); que.pop();
         cantor(a, temp, );
         for(int i = ; i < ; i ++){
             copy(a, a+, b);
             change(b, i);
             inv_cantor(b, temp2, );
             if(!vis[temp2]){
                 que.push(temp2);
                 vis[temp2] = true;
                 ans[temp2] = ans[temp] + (char)('A' + i);
             }
         }
     }
 }
 int main(){
     init();
     while(~scanf("%s", str1)){
         scanf("%s", str2);
         //先把所有初始状态都转换成12345678
         //最终状态根据初始状态的转换而转换
         //这样只要一次预处理就可以解决问题了
         for(int i = ; i < ; i ++) map[str1[i] - ''] = i + ;
         for(int i = ; i < ; i ++) num[i] = map[str2[i] - ''];
         LL temp;
         inv_cantor(num, temp, );
         cout << ans[temp] << endl;
     }
 }

宇宙我来啦~\(≧▽≦)/~