[HNOI2018]排列[堆]

题意

给定一棵树，每个点有点权，第 \(i\) 个点被删除的代价为 \(w_{p[i]}\times i\) ，问最小代价是多少。

分析

• 与国王游戏一题类似。

• 容易发现权值最小的点在其父亲选择后就会立即选择它，可以考虑将其与之父亲合并。

• 于是问题转化成每个点变得有大小和新的权值，求最小代价。

• 对于 \(T\) 时刻的没有考虑的数构成的排列，如果 \(i\) 和 \(i-1​\) 交换后更优，则有:

  \[Tw_{i-1}+(T+t_{i-1})w_i>Tw_i+(T+t_i)w_{i-1}
  \]

  化简过后得到：

  \[\frac{t_{i-1}}{w_{i-1}}>\frac{t_i}{w_i}
  \]

• 这表明每一步的最优解（在当前局面下，一旦可选就立即选择的点）只和剩余序列有关，与之前的选择无关。每次将最最优的点拿去与父亲合并即可。虽然这里有一些不应该进行比较的信息 (比如祖先和儿子)，但是并不影响结果。

• 时间复杂度 \(O(nlogn)\) 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define go(u) for(int i = head[u], v = e[i].to; i; i=e[i].lst, v=e[i].to)
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; ++i)
#define pb push_back
#define re(x) memset(x, 0, sizeof x)
inline int gi() {
    int x = 0,f = 1;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
    while(isdigit(ch)) { x = (x << 3) + (x << 1) + ch - 48; ch = getchar();}
    return x * f;
}
template <typename T> inline bool Max(T &a, T b){return a < b ? a = b, 1 : 0;}
template <typename T> inline bool Min(T &a, T b){return a > b ? a = b, 1 : 0;}
const int N = 5e5 + 7;
int n, ec, nc;
int a[N], par[N], vis[N];
LL ans, t[N], w[N];
struct data {
	int u;
	LL t, w;
	data(){}data(int u, LL t, LL w):u(u), t(t), w(w){}
	bool operator <(const data &rhs) const {
		if(1ll * t * rhs.w == 1ll * w * rhs.t) return u < rhs.u;
		return 1ll * t * rhs.w > 1ll * w * rhs.t;
	}
};
set<data>S;
int getpar(int a) {
	return par[a] == a ? a : par[a] = getpar(par[a]);
}
int main() {
	n = gi();
	rep(i, 1, n) {
		a[i] = gi();
		if(a[i] <= n) {
			if(!vis[a[i]]) vis[a[i]] = 1, ++nc;
			if(!vis[i]) vis[i] = 1, ++nc;
			++ec;
		}
	}
	rep(i, 1, n) w[i] = gi();
	if(ec && ec == nc) return puts("-1"), 0;
	t[0] = 1;
	rep(i, 1, n) {
		par[i] = i;
		t[i] = 1;
		S.insert(data(i, 1, w[i]));
	}
	while(!S.empty()) {
		data now = *S.begin(); S.erase(now);
		int u = getpar(now.u), g = getpar(a[u]);
		if(g) S.erase(data(g, t[g], w[g]));
		ans += t[g] * w[u];
		t[g] += t[u];
		w[g] += w[u];
		par[u] = g;
		if(g)
		S.insert(data(g, t[g], w[g]));
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}