[HAOI 2010]订货

Description

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某公司估计市场在第 \(i\) 个月对某产品的需求量为 \(U_i\) ，已知在第 \(i\) 月该产品的订货单价为 \(d_i\) ，上个月月底未销完的单位产品要付存贮费用 \(m\) ，假定第一月月初的库存量为零，第 \(n\) 月月底的库存量也为零，问如何安排这 \(n\) 个月订购计划，才能使成本最低？每月月初订购，订购后产品立即到货，不进库并供应市场，于当月被售掉则不必付存贮费。假设仓库容量为 \(S\) 。

\(1\leq n\leq 50,1\leq S\leq 10000\)

Solution

记第 \(i\) 天后，仓库容量为 \(j\) 的最小成本为 \(f_{i,j}\) ，容易得到

\[f_{i,j}=\min_{0\leq k\leq \min\{S, j+U_i\}}\{f_{i-1,k}+(j+U_i-k)d_i+jm\}\]

这样是 \(O(nS^2)\) 的，不过这个式子可以前缀和优化到 \(O(nS)\) 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 55, S = 10000+5;

int n, m, s, u[N], d[N];
ll f[N][S], minn[N][S];

void work() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &u[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &d[i]);
    memset(f, 127/3, sizeof(f)); f[0][0] = 0;
    memset(minn, 127/3, sizeof(minn));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= s; j++)
            minn[i][j] = min(minn[i][j-1], f[i-1][j]-1ll*j*d[i]);
        for (int j = 0; j <= s; j++)
            f[i][j] = minn[i][min(s, j+u[i])]+1ll*j*(d[i]+m)+1ll*u[i]*d[i];
    }
    printf("%lld\n", f[n][0]);
}
int main() {work(); return 0; }