8.18考试总结[NOIP模拟43]

又挂了$80$

好气哦，但要保持优雅。（草

T1 地衣体

---

小小的贪心：每次肯定从深度较小的点向深度较大的点转移更优。

模拟一下，把边按链接点的子树最大深度排序，发现实际上只有上一个遍历到的点是对当前考虑的点有影响的，且它们的$LCA$即为当前点的父亲。$DFS$时记录即可。

$code:$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define x first
 3 #define y second
 4 #define mp make_pair
 5 #define pb push_back
 6 using namespace std;
 7 typedef pair<int,int> ii;
 8
 9 namespace IO{
10     inline int read(){
11         int x=0,f=1; char ch=getchar();
12         while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
13         while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
14         return x*f;
15     }
16     inline void write(int x,char sp){
17         char ch[20]; int len=0;
18         if(x<0){ putchar('-'); x=~x+1; }
19         do{ ch[len++]=x%10+(1<<5)+(1<<4); x/=10; }while(x);
20         for(int i=len-1;~i;i--) putchar(ch[i]); putchar(sp);
21     }
22 } using namespace IO;
23
24 const int NN=1e5+5;
25 int n,lfn,ans,pos,dep[NN],mxdep[NN];
26 bool vis[NN];
27 vector<ii>e[NN];
28
29 void dfinit(int s,int f){
30     for(int i=0;i<e[s].size();i++){
31         int v=e[s][i].y;
32         if(v==f) continue;
33         mxdep[v]=dep[v]=dep[s]+1;
34         dfinit(v,s);
35         e[s][i].x=mxdep[v];
36         mxdep[s]=max(mxdep[s],mxdep[v]);
37     }
38     sort(e[s].begin(),e[s].end());
39 }
40 void solve(int s,int f){
41     if(!pos) ans+=dep[s];
42     else ans+=dep[s]<(dep[s]+dep[pos]-2*dep[f])?dep[s]:(dep[s]+dep[pos]-2*dep[f]);
43     pos=s;
44 }
45 void dfs(int s,int f){
46     solve(s,f);
47     for(int i=0;i<e[s].size();i++){
48         int v=e[s][i].y;
49         if(v==f) continue;
50         dfs(v,s);
51     }
52 }
53 signed main(){
54     n=read();
55     for(int a,b,i=1;i<n;i++){
56         a=read(); b=read();
57         e[a].pb(mp(0,b));
58         e[b].pb(mp(0,a));
59     }
60     dfinit(1,0);
61     dfs(1,0);
62     write(ans,'\n');
63     return 0;
64 }

T1

T2 帝儿啼

---

二分答案，可以运用$spfa$思想，迭代最终必将收敛，每次暴力扫描修改，直到所有点符合$mid$或不能再改。

考场上以为复杂度炸了，数组只开了$500$，讲题时听到这种方法能$A$人都傻了。。。

$code:$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define int long long
 3 using namespace std;
 4
 5 namespace IO{
 6     inline int read(){
 7         int x=0,f=1; char ch=getchar();
 8         while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
 9         while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
10         return x*f;
11     }
12     inline void write(int x,char sp){
13         char ch[20]; int len=0;
14         if(x<0){ putchar('-'); x=~x+1; }
15         do{ ch[len++]=x%10+(1<<5)+(1<<4); x/=10; }while(x);
16         for(int i=len-1;~i;i--) putchar(ch[i]); putchar(sp);
17     }
18 } using namespace IO;
19
20 const int NN=1e5+5;
21 int r,c,k,a[NN],L,R,ans,ext;
22 inline int id(int x,int y){ return (x-1)*c+y; }
23 bool check(int mid){
24     bool flag=1;
25     int kk=k,tmp[NN];
26     for(int i=1;i<=ext;i++) tmp[i]=a[i];
27     while(kk>=0&&flag){
28         flag=0;
29         for(int i=1;i<=r;i++) for(int j=1;j<=c;j++){
30             int now=id(i,j);
31             if(i>1) if(tmp[id(i-1,j)]-tmp[now]>mid){
32                 flag=1;
33                 int t=tmp[id(i-1,j)]-tmp[now];
34                 tmp[now]+=t-mid; kk-=t-mid;
35                 if(kk<0) return 0;
36             }
37             if(j>1) if(tmp[id(i,j-1)]-tmp[now]>mid){
38                 flag=1;
39                 int t=tmp[id(i,j-1)]-tmp[now];
40                 tmp[now]+=t-mid; kk-=t-mid;
41                 if(kk<0) return 0;
42             }
43             if(i<r) if(tmp[id(i+1,j)]-tmp[now]>mid){
44                 flag=1;
45                 int t=tmp[id(i+1,j)]-tmp[now];
46                 tmp[now]+=t-mid; kk-=t-mid;
47                 if(kk<0) return 0;
48             }
49             if(j<c) if(tmp[id(i,j+1)]-tmp[now]>mid){
50                 flag=1;
51                 int t=tmp[id(i,j+1)]-tmp[now];
52                 tmp[now]+=t-mid; kk-=t-mid;
53                 if(kk<0) return 0;
54             }
55             if(i>1&&j<c) if(tmp[id(i-1,j+1)]-tmp[now]>mid){
56                 flag=1;
57                 int t=tmp[id(i-1,j+1)]-tmp[now];
58                 tmp[now]+=t-mid; kk-=t-mid;
59                 if(kk<0) return 0;
60             }
61             if(i<r&&j>1) if(tmp[id(i+1,j-1)]-tmp[now]>mid){
62                 flag=1;
63                 int t=tmp[id(i+1,j-1)]-tmp[now];
64                 tmp[now]+=t-mid; kk-=t-mid;
65                 if(kk<0) return 0;
66             }
67         }
68     }
69     return 1;
70 }
71 signed main(){
72     r=read(); c=read(); k=read(); ext=r*c;
73     for(int i=1;i<=r;i++) for(int j=1;j<=c;j++)
74         a[id(i,j)]=read();
75     for(int i=1;i<=r;i++) for(int j=1;j<=c;j++){
76         if(i>1) R=max(R,abs(a[id(i-1,j)]-a[id(i,j)]));
77         if(i<r) R=max(R,abs(a[id(i+1,j)]-a[id(i,j)]));
78         if(j>1) R=max(R,abs(a[id(i,j-1)]-a[id(i,j)]));
79         if(j<c) R=max(R,abs(a[id(i,j+1)]-a[id(i,j)]));
80         if(i>1&&j<c) R=max(R,abs(a[id(i-1,j+1)]-a[id(i,j)]));
81         if(i<r&&j>1) R=max(R,abs(a[id(i+1,j-1)]-a[id(i,j)]));
82     }
83     while(L<=R){
84         int mid=L+R>>1;
85         if(check(mid)) ans=mid, R=mid-1;
86         else L=mid+1;
87     }
88     write(ans,'\n');
89     return 0;
90 }

T2

T3 滴伞涕

---

数位$DP$。得到区间后求以$a-1$，$b$为下界的答案最后相减。可以按数中$1$的个数分段，逐段得到答案。

预处理前$i$位选$j$个$1$，是否卡紧上下界的方案数和和，然后$DFS$。

虽然说得很简单，但写出来有些难度，但写完了还行。

$code:$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define mp make_pair
 3 #define x first
 4 #define y second
 5 using namespace std;
 6 typedef long long LL;
 7 typedef pair<LL,LL> pii;
 8
 9 namespace IO{
10     inline int read(){
11         int x=0,f=1; char ch=getchar();
12         while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
13         while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
14         return x*f;
15     }
16     inline void write(LL x,char sp){
17         char ch[20]; int len=0;
18         if(x<0){ putchar('-'); x=~x+1; }
19         do{ ch[len++]=x%10+(1<<5)+(1<<4); x/=10; }while(x);
20         for(int i=len-1;~i;i--) putchar(ch[i]); putchar(sp);
21     }
22 } using namespace IO;
23
24 const LL inf=1e18;
25 int t,l,r,a,b;
26 pii f[35][35][2][2];
27
28 pii dfs(int i,int j,bool s,bool t,LL lmt,bool flag){
29     if(i<0||j<0||!lmt) return mp(0ll,0ll);
30     if(flag&&f[i][j][s][t].x<=lmt) return f[i][j][s][t];
31     int dn=s&(l>>i),up=t&((r>>i)^1);
32     pii fr=dn?mp(0ll,0ll):dfs(i-1,j,s&(((l>>i)^1)&1),t&(((r>>i)^1)&1),lmt,1);
33     pii af=up?mp(0ll,0ll):dfs(i-1,j-1,s&((l>>i)&1),t&((r>>i)&1),lmt-fr.x,1);
34     return mp(fr.x+af.x,fr.y+af.y+af.x*(1ll<<i));
35 }
36 LL ans(int x){
37     LL res=0;
38     for(int i=0;i<=30;i++)
39         if(x>=f[30][i][1][1].x){
40             res+=f[30][i][1][1].y;
41             x-=f[30][i][1][1].x;
42         }
43         else{ res+=dfs(30,i,1,1,x,0).y;break; }
44     return res;
45 }
46 signed main(){
47     t=read();
48     while(t--){
49         l=read(); r=read(); a=read(); b=read();
50         a=r-l-a+2; b=r-l-b+2; if(a>b)swap(a,b);
51         memset(f,0,sizeof(f));
52         f[0][0][0][0]=f[0][0][0][1]=mp(1ll,0ll);
53         f[0][0][1][0]=f[0][0][1][1]=mp((l^1ll)&1ll,0ll);
54         f[0][1][0][0]=f[0][1][1][0]=mp(1ll,1ll);
55         f[0][1][0][1]=f[0][1][1][1]=mp(r&1ll,r&1ll);
56         for(int i=1;i<=30;i++) for(int j=0;j<=i+1;j++){
57             f[i][j][0][0]=dfs(i,j,0,0,inf,0);
58             f[i][j][1][0]=dfs(i,j,1,0,inf,0);
59             f[i][j][0][1]=dfs(i,j,0,1,inf,0);
60             f[i][j][1][1]=dfs(i,j,1,1,inf,0);
61         }
62         write(ans(b)-ans(a-1),'\n');
63     }
64     return 0;
65 }

T3

T4 堤寺梯

---

好像有两种做法。这里讲一种（因为只会一种

定义$f_{i,j}$表示选了$i$个数，最大值为$j$的方案，$g_{i,j}$表示在最大值为$j$的基础上再选$i$个数的方案。都不难维护。

然后考虑如何得到答案。

首先考虑特定数字$x$的答案，一个序列中有$k$个$x$，对答案贡献为$k^2$，有$k^2=\binom{k}{2}\times 2+k$。

发现可以将这些贡献独立分摊到每个$x$上，类似在等式右边提出一个$k$，即为“$1+$在后面再选一个$x$的方案数”。

接下来就可以单独考虑位于$i$的$x$对答案的贡献，并乘上方案数。

（应该不难理解的）式子：

$ans_x=\sum_{i=1}^n(\sum_{y \geq x}f[i-1][y]\times (g[n-i][y]+2\times (n-i)\times g[n-i-1][y])+f[i-1][x-1]\times (g[n-i][x-1]+2\times (n-i)\times g[n-i-1][x-1]))$

后缀和优化成$O(n^2)$。

（$i=n$时$C++11$不会$RE$

$code:$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3
 4 namespace IO{
 5     inline int read(){
 6         int x=0,f=1; char ch=getchar();
 7         while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
 8         while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
 9         return x*f;
10     }
11     inline void write(int x,char sp){
12         char ch[20]; int len=0;
13         if(x<0){ putchar('-'); x=~x+1; }
14         do{ ch[len++]=x%10+(1<<5)+(1<<4); x/=10; }while(x);
15         for(int i=len-1;~i;i--) putchar(ch[i]); putchar(sp);
16     }
17 } using namespace IO;
18
19 const int NN=3005;
20 int n,m;
21 long long f[NN][NN],g[NN][NN],p[NN][NN],ans[NN];
22 signed main(){
23     n=read(); m=read(); f[0][0]=g[0][0]=1;
24     for(int i=1;i<=n;i++){
25         g[0][i]=1;
26         for(int j=1;j<=i;j++)
27             f[i][j]=(f[i-1][j]*j%m+f[i-1][j-1])%m;
28     }
29     for(int i=1;i<=n;i++)
30         for(int j=1;j<=n-i;j++)
31             g[i][j]=(g[i-1][j]*j%m+g[i-1][j+1])%m;
32     for(int i=1;i<=n;i++)
33         for(int j=i;j;j--){
34             p[i][j]=(p[i][j+1]+f[i-1][j]*(g[n-i][j]+2*(n-i)*g[n-i-1][j]%m)%m)%m;
35             ans[j]=(ans[j]+p[i][j]+f[i-1][j-1]*(g[n-i][j]+2*(n-i)*g[n-i-1][j]%m)%m)%m;
36         }
37     for(int i=1;i<=n;i++) write(ans[i],' '); puts("");
38     return 0;
39 }

T4