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题目

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题意简述

给定 \(n\) 个集合 \(S_{1\sim n}\),问是否存在 \(i,j\) 满足 \(i\neq j\) 且 \(\left\lvert S_i\cap S_j\right\rvert\geq 2\)。

若存在,输出 \(i,j\)(任意一对都可);否则输出 \(-1\)。

\(n\leq 10^5\),\(\sum\limits_{i=1}^n\left\lvert S_i\right\rvert\leq 2\times 10^5\)。

题解

图论转化

直接思考有点难,考虑经典套路,我们把这个问题转化成二分图模型。

对于一个集合 \(S_i\),我们将其构造为一个左部点 \(i\)。

对于一个元素 \(x\),我们将其构造为一个右部点 \(x\)。

如果 \(x\in S_i\),那么图上有一条边 \((i,x)\)。

那么 \(\left\lvert S_i\cap S_j\right\rvert\geq 2\),就对应有至少两个右部点连到了同样的两个点。

换句话说,符合条件的答案对应了图中的一个四元环。

并且,这张图的度数总和为 \(\sum\limits_{i=1}^n\left\lvert S_i\right\rvert\)。

按点的度数分治

现在我们要解决的问题就是一个二分图内是否存在四元环。

这同样是一个简单的问题,具体地,我们考虑按点的度数分治:

  • 找到一个非负整数 \(B\);
  • 称度数 \(\geq B\) 的为大点,度数 \(< B\) 的为小点;
  • 对于大点,其个数为 \(\Theta\left(\frac{\sum\texttt{deg}}{B}\right)\)。

我们对于每个大左部点,标记其所有相连点,如果存在另一个左部点,其连接的标记点个数 \(\geq 2\),那么存在一个四元环。

我们对于每个小左部点,我们枚举其对应的所有的右部点对,然后对于每一个点对,我们枚举其最小值,然后标记其对应点,如果一个点在之前被标记过,那么就存在一个四元环。

根据上面的分析,我们得出算法的时间复杂度为 \(\Theta\left(\frac{\sum\texttt{deg}}{B}\sum\texttt{deg}+B\sum\texttt{deg}\right)\)。

理论分析可以得出,最优的时间复杂度为 \(\Theta\left(\sum\texttt{deg}\sqrt{\sum\texttt{deg}}\right)\)。

参考程序

  1. #include<bits/stdc++.h>
  2. using namespace std;
  3. #define reg register
  4. typedef long long ll;
  5. #define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
  6. static char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
  7. #define flush() (fwrite(wbuf,1,wp1,stdout),wp1=0)
  8. #define putchar(c) (wp1==wp2&&(flush(),0),wbuf[wp1++]=c)
  9. static char wbuf[1<<21];int wp1;const int wp2=1<<21;
  10. inline int read(void){
  11. reg char ch=getchar();
  12. reg int res=0;
  13. while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
  14. while(isdigit(ch)) res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();
  15. return res;
  16. }
  17. inline void write(reg int x){
  18. static char buf[32];
  19. reg int p=-1;
  20. if(x<0) x=-x,putchar('-');
  21. if(!x) putchar('0');
  22. else while(x) buf[++p]=(x%10)^'0',x/=10;
  23. while(~p) putchar(buf[p--]);
  24. return;
  25. }
  26. const int MAXN=1e5+5;
  27. const int MAXS=2e5+5;
  28. struct Event{
  29. int x,y,id;
  30. inline Event(reg int x=0,reg int y=0,reg int id=0):x(x),y(y),id(id){
  31. return;
  32. }
  33. };
  34. struct Link{
  35. int val,id;
  36. inline Link(reg int val=0,reg int id=0):val(val),id(id){
  37. return;
  38. }
  39. };
  40. int n;
  41. inline pair<int,int> solve(void){
  42. n=read();
  43. reg int sum=0;
  44. vector<vector<int>> S(n+1);
  45. vector<int> V;
  46. for(reg int i=1;i<=n;++i){
  47. reg int k=read();
  48. sum+=k;
  49. S[i].resize(k);
  50. for(reg int j=0;j<k;++j)
  51. S[i][j]=read(),V.push_back(S[i][j]);
  52. }
  53. sort(V.begin(),V.end()),V.erase(unique(V.begin(),V.end()),V.end());
  54. for(reg int i=1;i<=n;++i)
  55. for(int& x:S[i])
  56. x=lower_bound(V.begin(),V.end(),x)-V.begin();
  57. reg int m=V.size();
  58. reg size_t B=sqrt(sum/16);
  59. vector<int> Big,Sma;
  60. for(int i=1;i<=n;++i)
  61. if(S[i].size()>=B)
  62. Big.push_back(i);
  63. else
  64. Sma.push_back(i);
  65. vector<bool> vis(m);
  66. vis.resize(m);
  67. for(reg int i=0,siz=Big.size();i<siz;++i){
  68. int u=Big[i];
  69. for(int x:S[u])
  70. vis[x]=true;
  71. for(reg int j=1;j<=n;++j){
  72. int v=j;
  73. if(u!=v){
  74. reg int cnt=0;
  75. for(int x:S[v])
  76. if(vis[x])
  77. ++cnt;
  78. if(cnt>=2)
  79. return make_pair(u,v);
  80. }
  81. }
  82. for(int x:S[u])
  83. vis[x]=false;
  84. }
  85. vector<Event> E;
  86. for(reg int i=0,siz=Sma.size();i<siz;++i){
  87. reg int u=Sma[i];
  88. for(reg int j=0,siz=S[u].size();j<siz;++j)
  89. for(reg int k=j+1;k<siz;++k)
  90. E.push_back(Event(S[u][j],S[u][k],u));
  91. }
  92. vector<vector<Link>> G;
  93. G.resize(m);
  94. for(Event e:E)
  95. if(e.x<e.y)
  96. G[e.x].push_back(Link(e.y,e.id));
  97. else
  98. G[e.y].push_back(Link(e.x,e.id));
  99. vector<int> from;
  100. from.resize(m);
  101. for(reg int i=0;i<m;++i){
  102. for(Link L:G[i])
  103. if(!from[L.val])
  104. from[L.val]=L.id;
  105. else
  106. return make_pair(from[L.val],L.id);
  107. for(Link L:G[i])
  108. from[L.val]=0;
  109. }
  110. return make_pair(-1,-1);
  111. }
  112. int main(void){
  113. reg int t=read();
  114. while(t--){
  115. static pair<int,int> ans;
  116. ans=solve();
  117. if(ans.first==-1)
  118. write(-1),putchar('\n');
  119. else
  120. write(ans.first),putchar(' '),write(ans.second),putchar('\n');
  121. }
  122. flush();
  123. return 0;
  124. }

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