流体饱和多孔介质的本构关系 + Föppl-von Kármán 方程

向有液体的多孔介质上施加应力，应力一部分分布到骨架上，一部分分布到孔隙流体上。骨架上的应力会导致变形，所以被称为 ”有效应力“。这里考虑拉伸应力为正，有效应力原理写为

\[\sigma_{ij}=\sigma'_{ij}-p\delta_{ij}
\]

被流体饱和多孔介质的应力-应变关系与无孔介质的应力-应变关系本质上相同，可以表达为

\[\varepsilon_{ij}=\frac{1+v}E\sigma'_{ij}-\frac vE\sigma'_{kk}\delta_{ij}
\]

再根据那几个经典的变来变去的关系

\[\begin{matrix}
\displaystyle K=\frac E{3(1-2v)},G=\frac E{2(1+v)} \\[2ex]
\displaystyle\sigma'_{ij}=\left(K-\frac{2G}3\right)\varepsilon\delta_{ij}+2G\varepsilon_{ij}
\end{matrix}
\]

式中 \(\varepsilon=\varepsilon_{kk}\) 是体积应变。一通重写，就变成了

\[\begin{matrix}
\displaystyle\varepsilon_{ij}=\frac1{2G}\left(\sigma_{ij}-\frac v{1+v}\sigma_{kk}\delta_{ij}\right)+\frac1{3K}p\delta_{ij} \\[2ex]
\displaystyle\sigma_{ij}=\left(K-\frac{2G}3\right)\varepsilon\delta_{ij}+2G\varepsilon_{ij}-p\delta_{ij}
\end{matrix}
\]

在 Evans et al. (2017) 的 3.4 节中，方程 \((1)\)、\((2)\) 都好懂，但凭空出现了一个方程 \((3)\)，给我一下子整不会了

\[\sigma_{ij}=\frac Y{1+v}\left(\frac v{1-2v}\delta_{ij}\varepsilon_{kk}+\varepsilon_{ij}\right)-p\delta_{ij}
\]

他的 \(Y\) 是杨氏模量。其实你代入那几个模量 \(E\)、\(K\)、\(G\) 的关系变换一下，就会发现它正是从上面的本构方程变形来的！

\[\begin{aligned}
\sigma_{ij}&=\left(K-\frac{2G}3\right)\varepsilon\delta_{ij}+2G\varepsilon_{ij}-p\delta_{ij} \\[1ex]
&=\left(\frac E{3(1-2v)}-\frac E{3(1+v)}\right)\varepsilon\delta_{ij}+\frac E{1+v}\varepsilon_{ij}-p\delta_{ij} \\[1ex]
&=\frac E{1+v}\left(\frac v{1-2v}\delta_{ij}\varepsilon_{kk}+\varepsilon_{ij}\right)-p\delta_{ij}
\end{aligned}
\]

这个式子就描述了，奶皮孔隙压力、竖直应变、水平应力、收缩之间的各种关系。

此处应有掌声！

---

有杨氏模量为 \(E\)、泊松比为 \(v\) 的材料制成厚度为 \(t\)、宽度为 \(W\)、长度为 \(L~(t\ll W\ll L)\) 的各向同性的弹性薄膜。膜片在平面内受到拉伸应变 \(\gamma\)，产生皱纹。假设面积 \(WL\) 的薄膜的面外位移是 \(\zeta(x,y)\)。为计算皱纹波长和振幅，考虑弯曲和拉伸的能量，并用拉格朗日乘子考虑几何约束条件。此时目标函数可写为

\[u=U_B+U_S+L\tag1
\]

式中 \(U_B=1/2\int B\left(\partial_y^2\zeta\right)^2\mathrm dA\) 是变形产生的弯曲能，弯曲刚度 \(B=Et^3/\left[12\left(1-v^2\right)\right]\)。拉伸能 \(U_S=1/2\int T(x)(\partial_x\zeta)^2\mathrm dA\)，\(T(x)\) 是张力。由于片材在较小的压应力作用下沿 \(y\) 方向起皱，满足不可延伸的条件。

\[\begin{matrix}
\displaystyle\int_0^L\left[\frac12(\partial_y\zeta)^2-\frac{\Delta(x)}W\right]\mathrm dy=0 \\[2ex]
\displaystyle L=\int b(x)\left[\frac12(\partial_y\zeta)^2-\frac{\Delta(x)}W\right]\mathrm dA
\end{matrix}\tag2
\]

式中 \(b(x)\) 是拉格朗日乘子，\(\Delta(x)\) 是横向的压缩量。考察欧拉-拉格朗日方程第一变分 \(\delta U/\delta\zeta=0\)，得到

\[B\partial_y^4\zeta-T(x)\partial_x^2\zeta+b(x)\partial_y^2\zeta=0\tag3
\]

Cerda 和 Mahadeven 在论文末尾指出，通过对 Foppl-von Karman 方程的奇异摄动分析形式化就可以得出 \((3)\) 式，遗憾的是，我根本看不懂他俩在说什么。但观众们可能也不会发现我的这个吐槽，所以没关系，我们继续往下吧。

在本例中， \(T(x)\sim Eh\gamma\) 是常数，\(\Delta(x)\sin vW\gamma\) 是常数，\(b(x)\) 也是常数。

皱纹是周期的，\(\zeta(x,y)=\zeta(x,y+2\pi/k_n)\)，\(k_n=2\pi n/W\)，\(n\) 是皱纹条数。往上面 \((3)\) 里代入一个形式为的周期解 \(\zeta=\sum_n\mathrm e^{ik_ny}X_n(x)\)，得到了一个施图姆-刘维尔问题 (Sturm-Liouville-like problem)

\[\frac{\mathrm d^2X_n}{\mathrm dx^2}+\omega_n^2X_n=0,X_n(0)=X_n(L)=0\tag4
\]

式中 \(\omega_n^2=(bk_n^2-Bk_n^4)/T\)。

\((4)\) 的解是 \(X_n=A_n\sin\omega_nx\)，\(\omega_n=m\pi/L\)。该解在 \(m=1\) 时弯曲能最小，令 \(\omega_n=\pi/L\)，则 \(b_n(k_n)=\dfrac{\pi^2T}{L^2k_n^2}+Bk_n^2\)，\(\zeta=A_n\cos(k_ny+\phi_n)\sin\pi x/L\)。代入 \((2)\) 有 \(A_n^2k_n^2W/8\approx\Delta\)。一通重写有

\[u=Bk_n^2\Delta L+\pi^2 T\Delta/k_n^2L
\]

此时，波长 \(\lambda=2\pi/k\) 以及振幅 \(A\) 终于可以通过最小化 \(u\) 求出！

\[\begin{matrix}
\displaystyle\lambda=2\sqrt\pi\left(\frac BT\right)^{1/4}L^{1/2} \\[2ex]
\displaystyle A=\frac{\sqrt2}\pi\left(\frac\Delta W\right)^{1/2}\lambda
\end{matrix}
\]

例如对于拉伸的薄膜，就有

\[\begin{matrix}
\displaystyle\lambda=\frac{(2\pi Lt)^{1/2}}{\left[3\left(1-v^2\right)\gamma\right]^{1/4}} \\[3ex]
\displaystyle A=\cfrac{(vLt)^{1/2}}{\left[\cfrac{16\gamma}{3\pi\left(1-v^2\right)}\right]^{1/4}}
\end{matrix}
\]

但总之有

\[\begin{matrix}
\displaystyle\lambda\sim\left(\frac BK\right)^{1/4} \\[2ex]
\displaystyle A\sim\left(\frac\Delta W\right)^{1/2}\lambda \\[2ex]
\displaystyle B=\frac{Et^3}{12\left(1-v^2\right)}
\end{matrix}
\]

我是谁，我在哪，我在干什么？