UOJ#348. 【WC2018】州区划分

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ348.html

前言

第一次知道子集卷积可以自己卷自己。

题解

这是一道子集卷积模板题。

设 $sum[S]$ 表示点集 S 的点权和。

设 $f[S]$ 表示对点集 S 进行州区划分得到的答案，定义 $g[S]$ 在点集 S 合法时为 $(sum[S])^p$，不合法时为 0 。

则

$$f[S] = \frac{1}{(sum[S])^p}\sum_{T\subsetneq S} f[T]g[S-T]$$

这东西是个子集卷积的形式。

但是在卷的时候要调用自己。

那怎么办？

一边做子集卷积，一边得出新答案。

具体地：枚举一下集合大小 S ，每次通过之前的结果做卷积求出当前集合大小的所有集合的答案。

直接保留 FMT 后的结果，方便计算、降低时间复杂度。

具体细节见代码。

时间复杂度 $O(n^22^n)$ 。

代码

#pragma GCC optimize("Ofast","inline")
#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define pb(x) push_back(x)
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define fi first
#define se second
#define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I')
#define outval(x) printf(#x" = %d\n",x)
#define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("")
#define outtag(x) puts("----------"#x"----------")
#define outarr(a,L,R) printf(#a"[%d...%d] = ",L,R);\
						For(_v2,L,R)printf("%d ",a[_v2]);puts("");
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef vector <int> vi;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=23,S=1<<21,mod=998244353;
const ULL Bmod=16ULL*mod*mod;
int Pow(int x,int y){
	int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
		if (y&1)
			ans=(LL)ans*x%mod;
	return ans;
}
void Add(int &x,int y){
	if ((x+=y)>=mod)
		x-=mod;
}
void Del(int &x,int y){
	if ((x-=y)<0)
		x+=mod;
}
int n,m,s,p;
vector <int> e[N];
int w[N];
int cnt1[S],sum[S],f[S];
int g[N][N];
int u[N][S],v[N][S];
int check(int s){
	static int vis[N],in[N],q[N],head,tail,x;
	if (!s)
		return 0;
	clr(vis),clr(in);
	int fir=-1;
	For(i,0,n-1)
		if (s>>i&1){
			fir=i;
			break;
		}
	head=tail=0;
	q[++tail]=fir,vis[fir]=1;
	while (head<tail){
		x=q[++head];
		for (auto y : e[x])
			if (s>>y&1){
				in[y]^=1;
				if (!vis[y])
					vis[y]=1,q[++tail]=y;
			}
	}
	if (tail!=cnt1[s])
		return 1;
	For(i,0,n-1)
		if (in[i])
			return 1;
	return 0;
}
void FMT(int *a){
	For(i,0,n-1)
		For(j,0,s-1)
			if (j>>i&1)
				Add(a[j],a[j^1<<i]);
}
void IFMT(int *a){
	For(i,0,n-1)
		For(j,0,s-1)
			if (j>>i&1)
				Del(a[j],a[j^1<<i]);
}
int main(){
	n=read(),m=read(),p=read();
	s=1<<n;
	clr(g);
	For(i,1,m){
		int x=read()-1,y=read()-1;
		e[x].pb(y),e[y].pb(x);
	}
	For(i,0,n-1)
		w[i]=read();
	For(i,0,s-1){
		For(j,0,n-1)
			if (i>>j&1){
				cnt1[i]++;
				sum[i]+=w[j];
			}
		f[i]=check(i);
		sum[i]=Pow(sum[i],p);
		if (f[i])
			u[cnt1[i]][i]=sum[i];
	}
	For(i,0,n)
		FMT(u[i]);
	v[0][0]=1;
	FMT(v[0]);
	For(i,1,n){
		For(k,0,s-1){
			ULL tmp=0;
			For(j,0,i-1){
				tmp+=(LL)v[j][k]*u[i-j][k];
				if (tmp>=Bmod)
					tmp-=Bmod;
			}
			v[i][k]=tmp%mod;
		}
		IFMT(v[i]);
		For(k,0,s-1)
			if (cnt1[k]==i)
				v[i][k]=(LL)v[i][k]*Pow(sum[k],mod-2)%mod;
			else
				v[i][k]=0;
		FMT(v[i]);
	}
	IFMT(v[n]);
	cout<<v[n][s-1]<<endl;
	return 0;
}