复旦大学2018--2019学年第一学期高等代数I期末考试情况分析

一、期末考试成绩90分以上的同学（共21人）

周烁星(99)、封清(99)、叶雨阳(97)、周子翔(96)、王捷翔(96)、张思哲(95)、丁思成(94)、陈宇杰(94)、谢永乐(93)、张哲维(93)、陈钦品(93)、邹年轶(92)、顾天翊(91)、吴润华(91)、黄泽松(91)、刘羽(91)、范辰健(90)、金维涵(90)、黄永晟(90)、张俊杰(90)、时天宇(90)

二、总成绩计算方法

平时成绩根据交作业的次数决定，本学期共交作业13次（因调休安排，2018年11月12日和2018年11月26日的作业各算2次），10次以上（包括10次）100分，少一次扣10分。

总成绩=平时成绩*15%+期中考试成绩*15%+期末考试成绩*70%

三、期末卷面成绩及人数

期末卷面成绩	人数
90分--100分	21
80分--89分	32
70分--79分	25
60分--69分	20
50分--59分	9
40分--49分	3
40分以下	2
缺考	0
合计	112
期末考试班级平均分	76分

四、最终等级成绩及人数

最终等级成绩	人数
A	35
A-	0
B+	28
B	24
B-	14
C+	5
C	3
C-	1
D	0
F	2
缺考	0
合计	112

五、试卷命题分析

本次期末试卷的第一大题为8道选择题，主要考察学生对基本概念的理解程度和对平时学习或作业中常见结论的熟悉程度；第二大题为8道填空题，它们与第三、四、五大题同为计算题，覆盖了整个高等代数I中所有重要的计算要点，这也是高等代数II和后续专业课程必需的计算基本功；第六、七、八大题同为证明题，其中第六大题是简单证明题，第七大题的难度略有增加，第八大题是最难的压轴题。遵循高等代数I的教学目标，试卷的前六大题共计80分，着重考察学生对基本概念的理解、基本计算的掌握以及证明推导能力的养成；最后两道较难的证明题，让优秀的学生尽情发挥，使卷面成绩出现必要的梯度。学生的期末考试卷面成绩分布说明本试卷具有较好的区分度。

六、学生成绩分析

从期末考试的卷面成绩来看，90分以上的同学占了18.8%；80分以上的同学占了47.3%；60分以上的同学占了87.5%；整个班级的平均分为76分。最终等级成绩也与期末卷面成绩保持一致的高分比例，获得A类与B类的同学共占了90%。应该说数学学院本科18级同学在本次期末考试中取得了优异的成绩，交出了一份满意的答卷。

七、教学效果分析

数学学院本科18级同学优异的期末卷面成绩充分说明他们高质量地完成了本学期高等代数I的教学目标，在基本概念的理解、基本计算的掌握以及重要定理、方法和技巧的应用方面打下了扎实的基础。下面我们依次对最后几道大题进行分析，探讨在教学方面的得与失。

@第三大题  行列式的计算  &  @第六大题  向量线性无关的证明

相比于16级和17级高代I期末考试的第六大题，18级的第六大题是最简单的，充其量就是平时作业中证明某些向量线性无关的简单证明题（朱胜林老师说我命题越来越nice了^_^），同时计算行列式的第三大题也不难。正因如此，我这次批改期末试卷定下了非常严格的评分标准，后面几道大题扣分还是挺严的，最后给出的期末卷面成绩基本上没有水分。然而，18级的期末卷面成绩依然十分高，这说明18级确实考的非常好。

不足之处：在计算行列式时，有的同学没有讨论 $x_i$ 等于零的情形；有的同学做行列式的 $n-1$ 次行对换后，最后的符号都会搞错；有的同学只按照第 $n$ 行直接展开，再也不进行任何的化简了，这些都扣了分。在证明向量线性无关时，有些同学从 $\beta_1,\cdots,\beta_{m-1}$ 线性无关的表达式直接化成 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性组合的表达式, 然后断言它们线性无关, 这些从论证逻辑上看或从定义上看都是错误的，都扣了分。希望大家今后要以更高的标准锻造自己准确的计算能力和严谨的论证思维。

@第七大题（解答请参考 https://www.cnblogs.com/torsor/p/10285893.html）

本题着重考察学生对线性空间理论和线性变换理论的理解和运用，这是整个高等代数I最核心的内容。18级同学（包括17级转专业同学）一共给出了八种不同的证法，分别从“和空间与直和”，“映射限制”，“线性方程组同解”，“比较核空间”，“基扩张与基的判定”，“映射复合的核空间”和“相抵标准型”等方面入手进行证明，共有51名同学做出了此题（得分在9分以上），名单如下：

几何证法1: 章黎景华, 金维涵, 张天赐, 李沛扬, 刘羽

几何证法2: 吴洲同, 郭都, 范辰健, 孙晓雯, 唐逸扬, 刘林洋, 李松林, 封清, 陈宇杰, 谢永乐, 黄泽松, 周星雨, 刘一川, 张哲维, 唐朝亮

几何证法3 & 代数证法1 & 几何证法4: 罗通, 吴润华, 王晟灏, 高博文, 顾天翊, 时天宇, 王捷翔, 祝苒雯, 杨佳奇, 李雨昊, 陈钦品, 赵界清, 华树杰, 叶雨阳, 江孝奕, 刘天航, 张俊杰, 周子翔, 黄诗涵, 林万山, 张思哲, 吴彦桥, 黄永晟, 宋展鹏, 肖然

几何证法5: 李玮, 张轩铭, 丁思成, 周烁星

几何证法6: 廖庄子龙

代数证法2: 陈柯屿

不足之处：有些同学在几何推导时经常犯想当然的错误。比如，他们会这样推导：若 $V=\mathrm{Ker}\varphi\oplus U$，向量 $\alpha$ 满足 $\varphi(\alpha)\neq 0$, 则 $\alpha\not\in\mathrm{Ker}\varphi$, 从而 $\alpha\in U$。注意 $U$ 是补空间，而不是补集，这种想当然的错误就是平时对几何概念理解不够深入的结果。希望大家在高代的学习过程中，要通过具体的例子（特别是反例）去理解概念的内涵，要通过定理的证明和白皮书上的例题解析去理解概念和思想、方法和技巧的运用，这样才不会犯想当然的错误。

@第八大题（解答请参考 https://www.cnblogs.com/torsor/p/10284225.html）

本题着重考察学生对矩阵秩的理论的掌握，具有相当的难度，需要较强的技巧（有几何和代数两种证法），共有18名同学做出了此题（得分在7分以上），名单如下：

几何证法: 王捷翔, 宋雨芙, 封清, 谢永乐, 周子翔, 丁思成, 刘一川, 周烁星

代数证法: 邹年轶, 唐逸扬, 赵界清, 叶雨阳, 郑文琛, 陈宇杰, 黄泽松, 张思哲, 张哲维, 刘羽

不足之处：这次的第八大题与高代白皮书的例 3.71 十分类似，也与16级高代 I 期末考试第七大题有着密切的联系，因此入手点较多，不算特别难，但完全做出来的同学不算太多。希望18级拔尖同学（包括17级转专业同学）认真研读高代白皮书，用心做高代每周一题，以更高的标准要求自己。

八、对18级同学的寄语与期待

由于各种原因，从本学期开始我不再设立高等代数微信群，改为每次课后在教师休息室提供答疑（11:40--12:30），同时我继续推出了高等代数每周一题（18级是实施每周一题的第六个年级）。本学期18级同学留给我深刻印象的有两件事情。首先，18级一位女生每次都会来课后答疑，通过答疑我发现她对高代中的许多概念理解的完全不到位，思考问题的方式也有很多缺陷。一个学期的答疑下来，我跟她变得特别熟，也经常“批评”她，但是我依然十分欣赏她对待学习的认真态度。在我看来，数学天赋和数学成绩应该是因人而异，但对待数学学习的热情和态度应该是最重要的，这也是我认可学生的第一原则。期待下学期能有更多的同学来找我答疑，和我交流高代学习方法和学习心得。其次，本学期有十几位18级同学提交了每周一题的纸质解答，我也花了很多时间认真批改解答，并反馈给他们意见和建议。事实证明，那些积极提交每周一题解答的同学都在期末考试中取得了优异的成绩（比如周烁星、丁思成、谢永乐、叶雨阳和林万山等）。期待下学期能有更多的同学做每周一题，并在班上养成相互讨论、共同进步的良好氛围。

这次批改期末试卷期间，我既要做家务，又要接送孩子，加上从去年12月开始身体一直不好，所以整整批改了一个星期（我曾一度担心期限内批改不完）。特别是第七大题，每位同学都写了A4纸整整一页，而我始终认真仔细阅读他们的证明，不敢有丝毫的懈怠和疏忽。让我颇感欣慰的是，18级同学（包括17级转专业同学）一共给出了八种不同的证法，每种证法都十分漂亮，而且18级期末成绩整体优异，我真心觉得自己一个学期的辛劳没有白费。最后，希望18级同学戒骄戒躁，争取在高代II的学习中取得更好的成绩！