卡特兰数(Catalan Number) 学习笔记

一、三个简单的问题

1.给定一串长为2n的01序列，其中0和1的数量相等，满足任意前缀中0的个数不少于1的个数，求序列的个数
2.给出一串长为n的序列，按顺序将他们进栈，随意出栈，求最后进出栈的方案
3.给定一个n个节点的二叉树，求二叉树有多少种（这里定义不同指树的形态不同）

这三个问题都有关catalan数
事实上关于Catalan的性质有关问题很多，这里只是比较针对的列出了几种。

二、求解问题1

稍微想一想及可以知道，问题1,2同构，问题3却好像不一样。

我们以问题1为例，推出卡特兰数的计算式。

很简单的容斥原理，我们先求出所有的序列，然后减去不合法的序列即是答案

所有序列个数直接根据组合数的定义为\(C_{2n}^n\)

关于不合法的序列，我们先介绍结论，然后进行证明

满足存在一个前缀使得1的个数大于0的个数的 n个0与n个1构成的01序列与n+1个0与n-1个1构成的01序列 构成一个双射，即11对应关系

很显然，后者的数量为\(C_{2n}^{n-1}\)

证明：
对前者，很显然可以找到一个位置为\(2p+1\)的前缀，使得其中有\(p+1\)个\(1\)和\(p\)个\(0\)，好的我们把它取反，即得到了后者

对后者，同样我们可以找到一个位置为\(2p+1\)的前缀，使得其中有\(p\)个\(1\)和\(p+1\)个\(0\)（\(0\)比\(1\)多我们一定可以找到），然后取反，得到前者

综上所述，我们得到了卡特兰数的计算公式1

\[Cat_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}\]

化简搞一搞

\[Cat_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1}\]

可以继续推出递推式

\[Cat_n=\frac{2(2n-1)}{n+1}Cat_{n-1}\]

对递推式\(Cat_0=1\)

事实上，计算时求有组合数的那个用的比较多。

三、求解问题3

很抱歉有一步的证明不能给出，一是网上没找到，二是听说比较难

对于问题3，我们发现它本身介绍一个可以递归求解的子问题，设方案数为\(h(n)\)。

我们随便选取一点作为根（点都是相同的），则分别讨论左右子树的大小即可

显然有

\[h(n)=\sum_{i=0}^n h(i) \times h(n-1-i)\]

\[h(0)=h(1)=1\]

经过证明，\(h(n)=Cat_n\)

于是对于递推式是这样的题目，我们也可以使用卡特兰数解决。

可能会更新一些题目...

参考资料：算法竞赛进阶指南，网上的博客