用“倍增法”求最近公共祖先（LCA)

1.最近公共祖先：对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、的祖先且x的深度尽可能大。

2.朴素算法：记录下每个节点的父亲，使节点u，v一步一步地向上找父亲，直到找到相同的“祖先”，即是所求的答案，时间复杂度O(n)。

3.优化算法(倍增法)：利用二进制的思想，想办法使一步一步向上搜变成以2^k地向上跳。所以定义一个P[][]数组，使p[i][j]表示节点i的2^j倍祖先，因此p[i][0]即为i的父亲。我们可以得到一个递推式p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1]。这样子一个O(NlogN)的预处理(dfs)的 2^k 的祖先。定义一个deep[]数组表示节点深度，先判断是否 deep[u] > deep[v]果是的话就交换一下(保证 u的深度小于 v方便下面的操作)然后把u到与v同深度,同深度以后再把u v同时往上调(dec(j)) 调到有一个最小的j 满足: p[u] [j]!=p[v][j],u,v是在不断更新的   最后把u,v 往上调 (u=p[u,0] v=p [v,0]) 一个一个向上调直到   u= v 这时 u or v就是公共祖先。复杂度：O(logn)

下面给出 LCA 的模板：

输入：第一行:N,M,Q     (因为是一棵树，所以M==N-1)

接下来M 行: u, v, c ,表示u到v连一条权值为c的边

接下来Q行：u, v 表示寻求u,v的最近公共祖先，u~v的距离，u~v之间的路径的最大权值

输出：共Q行，对应上述的询问

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 #include<queue>
 using namespace std;
 const int maxn=;
 inline int read(){
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 int N,M,Q;
 vector<int> to[maxn],cost[maxn];
 int p[maxn][],MAX[maxn][],sum[maxn][];
 int dep[maxn];
 inline void dfs(int root){
     for(int i=;i<to[root].size();i++){
         int y=to[root][i];
         if(y!=p[root][]){
             dep[y]=dep[root]+;
             p[y][]=root;
             MAX[y][]=cost[root][i];
             sum[y][]=cost[root][i];
             for(int k=;k<=30;k++){
                 int zu=<<k;
                 if(zu<=dep[y]){
                     p[y][k]=p[p[y][k-]][k-];
                     MAX[y][k]=max(MAX[y][k-],MAX[p[y][k-]][k-]);
                     sum[y][k]=sum[y][k-]+sum[p[y][k-]][k-];
                 }
             }
             dfs(y);
         }
     }
 }
 inline void LCA(int x,int y){
     int ans1=,ans2=;
     if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
     int delta=dep[y]-dep[x];
     for(int i=;i<=;i++){
         int h=<<i; h=h&delta;
         if(h!=){
             ans1+=sum[y][i]; ans2=max(ans2,MAX[y][i]);
             y=p[y][i];
         }
     }
     if(x==y){
         cout<<x<<" "<<ans1<<" "<<ans2<<endl;
         return ;
     }
     for(int i=;i>=;i--){
         if(p[y][i]!=p[x][i]){
             ans1+=sum[x][i]; ans1+=sum[y][i];
             ans2=max(ans2,MAX[x][i]); ans2=max(ans2,MAX[y][i]);
             x=p[x][i]; y=p[y][i];
         }
     }
     ans1+=sum[x][]; ans1+=sum[y][];
     ans2=max(ans2,MAX[x][]); ans2=max(ans2,MAX[y][]);
     cout<<p[x][]<<" "<<ans1<<" "<<ans2<<endl;
 }
 int main(){
     N=read(); M=read(); Q=read();
     for(int i=;i<=M;i++){
         int u,v,c;
         u=read(); v=read(); c=read();
         to[u].push_back(v); to[v].push_back(u);
         cost[u].push_back(c); cost[v].push_back(c);
     }
     p[][]=-; dep[]=;
     dfs();
     for(int i=;i<=Q;i++){
         int u,v;
         u=read(); v=read();
         LCA(u,v);
     }
     return ;
 }