tarjan算法求最近公共祖先

tarjian算法

LCA： LCA（Least Common Ancestor），顾名思义，是指在一棵树中，距离两个点最近的两者的公共节点。也就是说，在两个点通往根的道路上，肯定会有公共的节点，我们就是要求找到公共的节点中，深度尽量深的点。还可以表示成另一种说法，就是如果把树看成是一个图，这找到这两个点中的最短距离。

LCA算法有在线算法也有离线算法，所谓的在线算法就是实时性的，而离线算法则是要求一次性读入所有的请求，然后在统一得处理。而在处理的过程中不一定是按照请求的输入顺序来处理的。说不定后输入的请求在算法的执行过程中是被先处理的。

tarjan算法。这个算法是基于并查集和DFS的。离线算法。

现在我们来观察正在处理与x结点关联的询问时并查集的情况。由于一个结点处理完毕后，它就被归到其父结点所在的集合，所以在已经处理过的结点中（包括 x本身），x结点本身构成了与x的LCA是x的集合，x结点的父结点及以x的所有已处理的兄弟结点为根的子树构成了与x的LCA是father[x]的集合，x结点的父结点的父结点及以x的父结点的所有已处理的兄弟结点为根的子树构成了与x的LCA是father[father[x]]的集合……（上面这几句话如果看着别扭，就分析一下句子成分，也可参照右面的图）假设有一个询问(x,y)（y是已处理的结点），在并查集中查到y所属集合的根是z，那么z 就是x和y的LCA，x到y的路径长度就是 lv[x]+lv[y]-lv[z]*2 。累加所有经过的路径长度就得到答案。　　现在还有一个问题：上面提到的询问(x,y)中，y是已处理过的结点。那么，如果y尚未处理怎么办？其实很简单，只要在询问列表中加入两个询问(x, y)、(y,x)，那么就可以保证这两个询问有且仅有一个被处理了（暂时无法处理的那个就pass掉）。而形如(x,x)的询问则根本不必存储。　　如果在并查集的实现中使用路径压缩等优化措施，一次查询的复杂度将可以认为是常数级的，整个算法也就是线性的了。

Tarjan作为离线off-line算法，在程序开始前，需要将所有等待询问的节点对提前存储，然后程序从树根开始执行TarjanLCA()。假如有如下一棵多叉树

根据TarjanLCA的实现算法可以看出，只有当某一棵子树全部遍历处理完成后，才将该子树的根节点标记为黑色（初始化是白色），假设程序按上面的树形结构进行遍历，首先从节点1开始，然后递归处理根为2的子树，当子树2处理完毕后，节点2， 5， 6均为黑色；接着要回溯处理3子树，首先被染黑的是节点7（因为节点7作为叶子不用深搜，直接处理），接着节点7就会查看所有询问(7, x)的节点对，假如存在(7, 5)，因为节点5已经被染黑，所以就可以断定(7, 5)的最近公共祖先就是find(5).ancestor，即节点1（因为2子树处理完毕后，子树2和节点1进行了union，find(5)返回了合并后的树的根1，此时树根的ancestor的值就是1）。    有人会问如果没有(7, 5)，而是有(5, 7)询问对怎么处理呢？我们可以在程序初始化的时候做个技巧，将询问对(a, b)和(b, a)全部存储，这样就能保证完整性。

如果要按顺序输出，在输入询问时打一个标记，假设开一个数组 f[][] , f[x][] = "顺序"，

que[x][i]=y 是询问x,y，与x有关的第 i 个数是y，f[x][i] = "顺序" ，与x有关的第 i 个询问是的几个顺序，所以就可以表示输出的顺序了。

模板

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<cstring>
 using namespace std;

 const int N = ;

 vector<int>node[N];    //相连的边
 vector<int>que[N];  //询问
 int n,m,x,y;
 int far[N],ance[N];    //祖先,集合
 int rank[N],ru[N];    //树的秩，入度
 bool vis[N];        //判断是否访问过 

 void init()
 {
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         node[i].clear();
         que[i].clear();
         far[i] = i;
         rank[i] = ;
     }
 }  

 int find(int x)
 {
     return far[x]==x?x:far[x]=find(far[x]);
 }

 void unio(int a,int b)
 {
     a=find(a);
     b=find(b);
     if(a==b) return ;
     if(rank[a]<=rank[b])
     {
         far[a] = b;
         rank[b] += rank[a];
     }
     else
     {
         far[b] = a;
         rank[a] += rank[b];
     }
 }

 void LCA(int root)
 {
     ance[root] = root;         //首先自成一个集合
     for(int i=;i<node[root].size();i++)
     {
         LCA(node[root][i]);        //递归子树
         unio(root,node[root][i]);    //将子树节点与根节点root的集合合并
         ance[find(root)] = root;    //合并后的集合的祖先为root
     }
     vis[root] = true;
     for(int i=;i<que[root].size();i++)
     {
         if(vis[que[root][i]])    //如果另一节点已经访问过
         printf("%d和%d的最近公共祖先：%d\n", root,que[root][i],ance[find(que[root][i])]);
     }
 }  

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     init();      //调试了好久，原来这里的初始化要放在输入n下面
     for(int i=;i<n;i++)
     {
         scanf("%d%d",&x,&y);   //x->y有一条边
         node[x].push_back(y);
         //node[y].push_back(x);
         ru[y]++;
     }
     for(int i=;i<=m;++i)
     {
         scanf("%d%d",&x,&y);
         que[x].push_back(y);
         que[y].push_back(x);
     }
     for(int i=;i<=n;++i)
         if(ru[i]==) LCA(i);    //寻找根节点
     return ;
 }