【百度之星2014~复赛）解题报告】The Query on the Tree

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前言

这几天把毕业答辩的事弄完了，于是买票出来玩，结果周六是百度之星的复赛，于是我就没有办法来做比赛了，不过看了看题，目测可以过我两三道题．

今天已经是比赛的第二天了，我还一直没有时间来A掉这些题，今晚抽空先把最简单的线段树那道题A了再说．

正文

题意

题目说的很清楚了，自己看吧．

有一棵树，树的每个点有点权，每次有三种操作：
　　1. Query x 表示查询以x为根的子树的权值和。
　　2. Change x y 表示把x点的权值改为y(0<=y<=100)。
　　3. Root x 表示把x变为根。

分析

这道题的数据起始很弱的．

我最初的想法就可以把这道题过掉．

最初的想法

首先对这个树按1为根dfs根优先编号，这个应该没有什么疑问．

编号的好处是一个子树变为了一个连续的区间．

编号的时候保存一下这个子树的编号区间，保存在子树的根上．

编号的时候顺便计算一下子树的权值和．

编号的时候记录一下一个节点的父节点．

修改操作

先说说修改操作，修改某个节点时，就算出这个节点应该增加多少，然后从这个节点开始更新，一直更新到根１．

平均复杂度　O( log(n) )

最坏复杂度　O( n )

设置根

这里我们需要一个变量来表示目前的根是那个节点，比如使用root变量，默认值是１．

设置根只需要把根变量更新一下即可．

平均复杂度　O( 1 )

最坏复杂度　O( 1 )

查询操作

查询的时候分三种情况：

１．查询的节点是目前的根　

这个时候答案显然是整个树的权值和，返回　根１的权值和即可．

２．目前的根不是查询的节点的某个子孙(即根不在查询的子树里面)

这个时候，答案和根是１的情况相同，及直接返回查询节点的权值和即可．

怎么判断根是不是查询节点的子孙呢？

平常的方法是用　LCA 查询，这里我直接使用子树区间来判断即可．

３．目前的根是查询节点的某个子孙．

这个时候，我们想象一下，我们拿起根，查询节点的子孙有那些呢？

即那些会在查询节点的下面呢？

假设查询节点是　x, 　x的一个儿子是y, 根是y的一个子孙(也可能是y).

这个时候，我们拿起根，x　应该变成　y 的儿子了吧．

这时树的权值应该是　x 原先的权值和　－　y 节点的权值和　＋　不在x子树区间的全职和．

然后，我们可以发现　x 原先的权值和　＋　不在x子树区间的权值和　＝　整个树的权值和．

故最终答案是　整个树的权值和　－　y节点的权值和．

问题：怎么找到y节点．

有两个方法：

１．枚举x的儿子来判断

２．从根不断的找父亲来判断．

由于题意没有说最多儿子有多少个，所以第一个方法最坏情况下为　O( n ) （很多儿子）

对应的，第二个方法最坏情况下也是　O( n )　(树退化为链表).

不过我们不用管最坏情况，先这样实现了再说．

综合操作复杂度：log(n)

线段数优化

首先对于修改操作，线段树优化后可以使最坏情况达到　O( log( n ) ).

对于查询操作，由于需要知道　x 的那个儿子　y, 这个我目前没有想到　O( log( n ) ) 的方法．

学弟说那只能使用二分了．

但是怎么二分呢？

发现二分不了，不过可以使用随机算法来优化找儿子的效率．

起初我们是遍历x的所有儿子，这里我们随机挑一个儿子来寻找．这也算是一个比较好的优化方法吧．

代码

暴力版代码　https://github.com/tiankonguse/ACM/blob/master/astar/2014/3/2.2.cpp(比较简洁)

线段树优化版代码　https://github.com/tiankonguse/ACM/blob/master/astar/2014/3/2.cpp

对于上面说的几个方法我只实现了两个，其他的都很简单，有兴趣的朋友可以尝试一下．

参考

http://blog.csdn.net/hongrock/article/details/27839237(这个参考主要用于确认暴力不会超时，如果精心构造数据，这个方法会超时的)