HDU 6155 Subsequence Count (DP、线性代数、线段树)

题目链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6155

题解

DP+线代好题。(考场上过多时间刚前两题，没怎么想这题……)

首先列出一个DP式: 设\(dp[i][j]\)表示到第\(i\)位最后一位是\(j\)有多少个本质不同的子序列(最后一位不一定取到第\(i\)位)，考虑转移:

假设\(a_i=0\), 那么\(dp[i][0]=2\times dp[i-1][0]+dp[i-1][1]-dp[i-1][0]+1=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+1\), 原因是考虑\(1\)到\(i-1\)中的子序列，可以在后面添一个0也可以不添，但是添完之后恰好有\(dp[i-1][0]\)个在前面出现过所以减掉，再加上前面以1结尾的串补上该处的0和单独一个0; \(dp[i][1]=dp[i-1][1]\). \(a_i=1\)同理。

(好吧我知道这个DP还有其他的做法，但是这个还是最容易数据结构维护的)

然后考虑如果没有修改怎么维护: 搞一个\(3\times 3\)的矩阵$$\textbf{A}_0\times \begin{bmatrix}f_0\f_1\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_0+f_1+1\f_1\1\end{bmatrix}, \textbf{A}_1\times \begin{bmatrix}f_0\f_1\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_0\f_0+f_1+1\1\end{bmatrix}$$

很轻易可以得到$$\rm\textbf{A}_0=\begin{bmatrix}1&1&1\0&1&0\0&0&1\end{bmatrix}, \rm\textbf{A}_1=\begin{bmatrix}1&0&0\1&1&1\0&0&1\end{bmatrix}$$

线段树维护区间乘积即可。

区间反转怎么办？维护两棵线段树？可能会被卡常，有更好的方法。（这也是此题的精妙之处）

我们发现矩阵\(\textbf{A}_0\)经过交换\(1,2\)行、交换\(1,2\)列的操作之后可以变成矩阵\(\rm\textbf{A}_1\), 矩阵\(\textbf{A}_1\)经过相同操作也可以变成\(\textbf{A}_0\).

也就是说我们构造初等矩阵\(\textbf{E}=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)，则有\(\textbf{E}=\textbf{E}^{-1}\), \(\textbf{A}_1=\textbf{E}\textbf{A}_0\textbf{E}, \textbf{A}_0=\textbf{E}\textbf{A}_1\textbf{E}\).

因此有\(\prod^{R}_{i=L}(\textbf{E}\textbf{T}_i\textbf{E})=\textbf{E}(\prod^R_{i=L}\textbf{T}_i)\textbf{E}\), 于是直接把乘积矩阵进行上述初等变换即可！

时间复杂度\(O(n\log n)\).

UPD: 刚才发现有大佬用\(2\times 2\)的矩阵维护，大概方法是令\(\textbf{A}_0\times\begin{bmatrix}f_0+1\\f_1+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_0+f_1+2\\f_1+1\end{bmatrix}\), \(1\)同理。只能说神仙到处是啊……

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define llong long long
using namespace std;

const int N = 1e5;
const int P = 1e9+7;
void updsum(llong &x,llong y) {x = x+y>=P?x+y-P:x+y;}
struct Matrix
{
    llong a[3][3];
    Matrix() {a[0][0] = a[0][1] = a[0][2] = a[1][0] = a[1][1] = a[1][2] = a[2][0] = a[2][1] = a[2][2] = 0;}
    void unitize() {a[0][0] = a[1][1] = a[2][2] = 1ll; a[0][1] = a[0][2] = a[1][0] = a[1][2] = a[2][0] = a[2][1] = 0ll;}
    Matrix operator *(const Matrix &arg) const
    {
        Matrix ret;
        updsum(ret.a[0][0],a[0][0]*arg.a[0][0]%P);
        updsum(ret.a[0][0],a[0][1]*arg.a[1][0]%P);
        updsum(ret.a[0][0],a[0][2]*arg.a[2][0]%P);
        updsum(ret.a[0][1],a[0][0]*arg.a[0][1]%P);
        updsum(ret.a[0][1],a[0][1]*arg.a[1][1]%P);
        updsum(ret.a[0][1],a[0][2]*arg.a[2][1]%P);
        updsum(ret.a[0][2],a[0][0]*arg.a[0][2]%P);
        updsum(ret.a[0][2],a[0][1]*arg.a[1][2]%P);
        updsum(ret.a[0][2],a[0][2]*arg.a[2][2]%P);
        updsum(ret.a[1][0],a[1][0]*arg.a[0][0]%P);
        updsum(ret.a[1][0],a[1][1]*arg.a[1][0]%P);
        updsum(ret.a[1][0],a[1][2]*arg.a[2][0]%P);
        updsum(ret.a[1][1],a[1][0]*arg.a[0][1]%P);
        updsum(ret.a[1][1],a[1][1]*arg.a[1][1]%P);
        updsum(ret.a[1][1],a[1][2]*arg.a[2][1]%P);
        updsum(ret.a[1][2],a[1][0]*arg.a[0][2]%P);
        updsum(ret.a[1][2],a[1][1]*arg.a[1][2]%P);
        updsum(ret.a[1][2],a[1][2]*arg.a[2][2]%P);
        updsum(ret.a[2][0],a[2][0]*arg.a[0][0]%P);
        updsum(ret.a[2][0],a[2][1]*arg.a[1][0]%P);
        updsum(ret.a[2][0],a[2][2]*arg.a[2][0]%P);
        updsum(ret.a[2][1],a[2][0]*arg.a[0][1]%P);
        updsum(ret.a[2][1],a[2][1]*arg.a[1][1]%P);
        updsum(ret.a[2][1],a[2][2]*arg.a[2][1]%P);
        updsum(ret.a[2][2],a[2][0]*arg.a[0][2]%P);
        updsum(ret.a[2][2],a[2][1]*arg.a[1][2]%P);
        updsum(ret.a[2][2],a[2][2]*arg.a[2][2]%P);
        return ret;
    }
} trans[2];
char a[N+3];
struct SgTNode
{
    Matrix x; bool inv;
} sgt[(N<<2)+3];
void build(int u,int le,int ri)
{
    if(le==ri) {sgt[u].x = trans[a[le]]; return;}
    int mid = (le+ri)>>1;
    build(u<<1,le,mid); build(u<<1|1,mid+1,ri);
    sgt[u].x = sgt[u<<1].x*sgt[u<<1|1].x;
}
void maketag(int u)
{
    sgt[u].inv ^= 1;
    swap(sgt[u].x.a[0][0],sgt[u].x.a[0][1]);
    swap(sgt[u].x.a[1][0],sgt[u].x.a[1][1]);
    swap(sgt[u].x.a[2][0],sgt[u].x.a[2][1]);
    swap(sgt[u].x.a[0][0],sgt[u].x.a[1][0]);
    swap(sgt[u].x.a[0][1],sgt[u].x.a[1][1]);
    swap(sgt[u].x.a[0][2],sgt[u].x.a[1][2]);
}
void pushdown(int u)
{
    if(sgt[u].inv)
    {
        maketag(u<<1);
        maketag(u<<1|1);
        sgt[u].inv = 0;
    }
}
void inverse(int u,int le,int ri,int lb,int rb)
{
    if(le>=lb && ri<=rb) {maketag(u); return;}
    pushdown(u);
    int mid = (le+ri)>>1;
    if(lb<=mid) {inverse(u<<1,le,mid,lb,rb);}
    if(rb>mid) {inverse(u<<1|1,mid+1,ri,lb,rb);}
    sgt[u].x = sgt[u<<1].x*sgt[u<<1|1].x;
}
Matrix queryprod(int u,int le,int ri,int lb,int rb)
{
    if(le>=lb && ri<=rb) {return sgt[u].x;}
    pushdown(u);
    int mid = (le+ri)>>1; Matrix ret; ret.unitize();
    if(lb<=mid) {ret = ret*queryprod(u<<1,le,mid,lb,rb);}
    if(rb>mid) {ret = ret*queryprod(u<<1|1,mid+1,ri,lb,rb);}
    sgt[u].x = sgt[u<<1].x*sgt[u<<1|1].x;
    return ret;
}

int n,q;

int main()
{
	int T; scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
	    scanf("%d%d",&n,&q);
	    scanf("%s",a+1); for(int i=1; i<=n; i++) a[i] -= 48;
	    trans[0].a[0][0] = 1; trans[0].a[0][1] = 1; trans[0].a[0][2] = 1; trans[0].a[1][1] = 1; trans[0].a[2][2] = 1;
	    trans[1].a[0][0] = 1; trans[1].a[1][0] = 1; trans[1].a[1][1] = 1; trans[1].a[1][2] = 1; trans[1].a[2][2] = 1;
	    build(1,1,n);
	    for(int i=1; i<=q; i++)
	    {
	        int opt,l,r; scanf("%d%d%d",&opt,&l,&r);
	        if(opt==1)
	        {
	            inverse(1,1,n,l,r);
	        }
	        else
	        {
	            Matrix ans = queryprod(1,1,n,l,r);
	            printf("%lld\n",(ans.a[0][2]+ans.a[1][2])%P);
	        }
	    }
	    memset(sgt,0,sizeof(sgt));
	}
    return 0;
}