【PowerOJ1744&网络流24题】方格取数问题（最小割）

题意：

n,m<=30

思路：

【问题分析】

二分图点权最大独立集，转化为最小割模型，从而用最大流解决。

【建模方法】

首先把棋盘黑白染色，使相邻格子颜色不同，所有黑色格子看做二分图X集合中顶点，白色格子看做Y集合顶点，建立附加源S汇T。

1、从S向X集合中每个顶点连接一条容量为格子中数值的有向边。

2、从Y集合中每个顶点向T连接一条容量为格子中数值的有向边。

3、相邻黑白格子Xi,Yj之间从Xi向Yj连接一条容量为无穷大的有向边。

求出网络最大流，要求的结果就是所有格子中数值之和减去最大流量。

【建模分析】

这是一个二分图最大点权独立集问题，就是找出图中一些点，使得这些点之间没有边相连，这些点的权值之和最大。独立集与覆盖集是互补的，求最大点权独立集可以转化为求最小点权覆盖集（最小点权

支配集）。最小点权覆盖集问题可以转化为最小割问题解决。结论:最大点权独立集 = 所有点权 - 最小点权覆盖集 = 所有点权 - 最小割集 = 所有点权 - 网络最大流。

对于一个网络，除去冗余点（不存在一条ST路径经过的点），每个顶点都在一个从S到T的路径上。割的性质就是不存在从S到T的路径，简单割可以认为割边关联的非ST节点为割点，而在二分图网络流模

型中每个点必关联到一个割点（否则一定还有增广路，当前割不成立），所以一个割集对应了一个覆盖集（支配集）。最小点权覆盖集就是最小简单割，求最小简单割的建模方法就是把XY集合之间的变容

量设为无穷大，此时的最小割就是最小简单割了。

有关二分图最大点权独立集问题，更多讨论见《最小割模型在信息学竞赛中的应用》作者胡伯涛。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef unsigned int uint;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef long double ld;
 typedef pair<int,int> PII;
 typedef pair<ll,ll> Pll;
 typedef vector<int> VI;
 typedef vector<PII> VII;
 typedef pair<ll,ll>P;
 #define N  100010
 #define M  1000000
 #define INF 1e9
 #define fi first
 #define se second
 #define MP make_pair
 #define pb push_back
 #define pi acos(-1)
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define rep(i,a,b) for(int i=(int)a;i<=(int)b;i++)
 #define per(i,a,b) for(int i=(int)a;i>=(int)b;i--)
 #define lowbit(x) x&(-x)
 #define Rand (rand()*(1<<16)+rand())
 #define id(x) ((x)<=B?(x):m-n/(x)+1)
 #define ls p<<1
 #define rs p<<1|1

 const ll MOD=1e9+,inv2=(MOD+)/;
       double eps=1e-;
       int dx[]={-,,,};
       int dy[]={,,-,};

 int head[N],vet[N],len[N],nxt[N],dis[N],
     a[][],b[][],num[][],s,S,T,tot;

 int read()
 {
    int v=,f=;
    char c=getchar();
    while(c<||<c) {if(c=='-') f=-; c=getchar();}
    while(<=c&&c<=) v=(v<<)+v+v+c-,c=getchar();
    return v*f;
 }

 void add(int a,int b,int c)
 {
     nxt[++tot]=head[a];
     vet[tot]=b;
     len[tot]=c;
     head[a]=tot;

     nxt[++tot]=head[b];
     vet[tot]=a;
     len[tot]=;
     head[b]=tot;
 }

 bool bfs()
 {
     queue<int>q;
     rep(i,,s) dis[i]=-;
     q.push(S),dis[S]=;
     while(!q.empty())
     {
         int u=q.front();
         q.pop();
         int e=head[u];
         while(e)
         {
             int v=vet[e];
             if(len[e]&&dis[v]==-)
             {
                 dis[v]=dis[u]+;
                 q.push(v);
             }
             e=nxt[e];
         }
     }
     return dis[T]!=-;
 }

 int dfs(int u,int aug)
 {
     if(u==T) return aug;
     int e=head[u],val=,flow=;
     while(e)
     {
         int v=vet[e];
         if(len[e]&&dis[v]==dis[u]+)
         {
             int t=dfs(v,min(len[e],aug));
             if(!t)
             {
                 e=nxt[e];
                 continue;
             }
             flow+=t;
             aug-=t;
             len[e]-=t;
             len[e^]+=t;
             if(!aug) break;
         }
         e=nxt[e];
     }
     if(!flow) dis[u]=-;
     return flow;
 }

 int maxflow()
 {
     int res=;
     while(bfs()) res+=dfs(S,INF);
     return res;
 }

 int main()
 {
     int n=read(),m=read();
     int ans=;
     rep(i,,n)
      rep(j,,m)
      {
          a[i][j]=read();
          ans+=a[i][j];
      }

     tot=;
     s=;
     rep(i,,n)
      rep(j,,m) num[i][j]=++s;

     rep(i,,n)
      rep(j,,m)
       if((i+j+)&)
        rep(k,,)
        {
             int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
             if(x>&&x<=n&&y>&&y<=m) add(num[i][j],num[x][y],INF);
        }
     S=++s,T=++s;
     rep(i,,n)
      rep(j,,m)
       if((i+j+)&) add(S,num[i][j],a[i][j]);
        else add(num[i][j],T,a[i][j]);
     ans-=maxflow();
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }