【BZOJ2655】calc DP 数学 拉格朗日插值

题目大意

​　　一个序列\(a_1,\ldots,a_n\)是合法的，当且仅当：

​　　长度为给定的\(n\)。

​　　\(a_1,\ldots,a_n\)都是\([1,m]\)中的整数。

​　　\(a_1,\ldots,a_n\)互不相等。

​　　一个序列的值定义为它里面所有数的乘积，即\(a_1\times a_2\times\cdots\times a_n\)。

　　求所有不同合法序列的值的和。

​　　两个序列不同当且仅当他们任意一位不一样。

​　　输出答案对一个数\(p\)取余的结果。

　　\(n\leq500,m\leq {10}^9,p\leq{10}^9,n+1<m<p\)且\(p\)是质数。

题解

​　　这题做法很多种。

​　　设\(f_{i,j}\)为前\(i\)个数中选\(j\)个数的所有方案的值的和，容易得到递推式：\(f_{0,0}=1,f_{i,j}=f_{i-1,j-1}\times i\times j+f_{i-1,j}\)。最后\(ans=f_{m,n}\)。但是这题\(m\)很大，不能直接求出答案。怎么办呢？

​　　我们先打个表：

\(f\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)
\(2\)	\(1\)	\(3\)	\(4\)
\(3\)	\(1\)	\(6\)	\(22\)
\(4\)	\(1\)	\(10\)	\(70\)
\(5\)	\(1\)	\(15\)	\(170\)
\(6\)	\(1\)	\(21\)	\(350\)

​　　什么？你看不出来？

\(f\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(i\)	\(0\)
\(2\)	\(1\)	\(2i-1\)	\(2i^2-2i\)
\(3\)	\(1\)	\(3i-3\)	\(6i^2-12i+4\)
\(4\)	\(1\)	\(4i-6\)	\(12i^2-36i+22\)
\(5\)	\(1\)	\(5i-10\)	\(20i^2-80i+70\)
\(6\)	\(1\)	\(6i-15\)	\(30i^2-150i+170\)

　　你还是看不出来？那我就直接告诉你吧。\(f_{i,0}=1,f_{i,1}=\frac12i^2-\frac12i,f_{i,2}=\frac14i^4+\frac16i^3-\frac14i^2-\frac16i\)。我们会发现，\(f_{i,j}\)是一个最高次项为\(2j\)的多项式，也就是说，\(f_{m,n}\)是一个最高次项为\(2n\)的多项式。我们只用求出\(0\)到\(2n\)次项的系数就可以求答案了。我们可以把前面\(0\)~\(2n\)个\(f_{i,n}\)求出来，就可以用拉格朗日插值插出多项式了。

​　　这道题因为是求某一个点的值，并不要求求出多项式，而且\(x\)取的是\([0,2n]\)，所以可以\(O(n)\)求出答案。然而并没有什么用，因为前面的DP已经是\(O(n^2)\)的了。

​　　时间复杂度：\(O(n^2)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
ll p;
ll f[1010][1010];
ll fp(ll a,ll b)
{
	ll s=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			s=s*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return s;
}
int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d%lld",&m,&n,&p);
	int i,j;
	memset(f,0,sizeof f);
	f[0][0]=1;
	for(i=1;i<=2*n;i++)
	{
		f[i][0]=f[i-1][0];
		for(j=1;j<=n;j++)
			f[i][j]=(f[i-1][j-1]*i%p*j+f[i-1][j])%p;
	}
	if(m<=2*n)
	{
		printf("%lld\n",f[m][n]);
		return 0;
	}
	ll ans=0;
	for(i=0;i<=2*n;i++)
	{
		ll s1=1,s2=1;
		for(j=0;j<=2*n;j++)
			if(j!=i)
			{
				s1=(s1*(m-j))%p;
				s2=(s2*(i-j))%p;
			}
		ans=(ans+f[i][n]*s1%p*fp(s2,p-2)%p)%p;
	}
	ans=(ans%p+p)%p;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}