[APIO2016]烟火表演
题目描述
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4585
题解
这题太神了。
我们可以先列出一个dp方程,dp[x][d]表示x节点到所有叶子的距离的d时的代价。
结论1:对于每个点来说,这个dp数组为二维平面上是一个下凸函数。
证明:对于叶子来说一定成立,在w[x]处为0,然后小于w[x]的部分斜率为-1,大与w[x]的部斜率为1。
对于非叶子节点 ,它的函数时有儿子们加起来的,也成立。
然后我们考虑一个点如何向父亲转移。
这是要分四种情况,假设当前节点的斜率为0的部分为L~R。
x<=L f'(x)=f(x)+w[u]
因为边权不能为负,所以我们只能从小的地方往大的地方转移。
比如这个蓝点,它只能从它以及前面的地方转移,但从自己转移时最优的。
x>=L&&x<=L=w[u] f'(x)=f(L)+w-(x-L)
在L处答案为f(L)+w,没往右动一格代价会-1。
x>=L+w[u]&&x<=R+w[u] f'(x)=f(L)
这个相当于直接转移了,没有代价。
x>=R+w[u] f'(x)=f(x)+(x-R)-w
相当于是走过了,会产生代价。
我们发现转移大概长这样(继续盗图)。
我们把左边的点向上动一段后插入斜率为-1的线,再把斜率为0的部分向右平移,最后面是斜率为1的线。
然后这种操作就可以维护了。
思路大概就是只维护拐点,用一个可并堆,每次把右边的部分弹掉。
结论2:每次合并到一个非叶子节点时,斜率为0的线右边有n个点,n为该点的儿子数。
证明:因为最后那一块斜率一定为n(n个斜率为1的直线相加),然后往前经过一个拐点,斜率会-1。
然后把LR取出来做平移,再插回去,最后一直合并到1。
结论3:每经过一个拐点,斜率-1(其实它和上面的结论一个意思)。
然后就可以利用最后的拐点直接算答案了。
怎么算呢?我们把斜率>=0的直线弹掉,把前面的所有直线斜率+1,那么每条直线都会产生deltax的代价,总共有xn的代价,那我们就在答案里+xn,此时最后一条直线斜率为0,把它删掉。
然后一直做,最后得到的是f(0)-f(min),f(0)就是所有边权之和,那么f(min)就可以求出来了。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 600002
using namespace std;
typedef long long ll;
int deep[N],d[N],n,m,fa[N],T[N],tot;
ll sum,w[N];
inline ll rd(){
ll x=;char c=getchar();bool f=;
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=(x<<)+(x<<)+(c^);c=getchar();}
return f?-x:x;
}
struct tr{
ll v;int l,r;
}tr[N];
int merge(int x,int y){
if(!x||!y)return x^y;
if(tr[x].v<tr[y].v)swap(x,y);
tr[x].r=merge(tr[x].r,y);
if(deep[tr[x].l]<deep[tr[x].r])swap(tr[x].l,tr[x].r);
deep[x]=deep[tr[x].r]+;
return x;
}
inline int pop(int x){return merge(tr[x].l,tr[x].r);}
int main(){
n=rd();m=rd();
for(int i=;i<=n+m;++i){
fa[i]=rd();w[i]=rd();sum+=w[i];d[fa[i]]++;
}
for(int i=n+m;i>=;--i){
ll l=,r=;
if(i<=n){
while(--d[i])T[i]=pop(T[i]);
l=tr[T[i]].v;T[i]=pop(T[i]);
r=tr[T[i]].v;T[i]=pop(T[i]);
}
tr[++tot].v=l+w[i];tr[++tot].v=r+w[i];
T[i]=merge(T[i],merge(tot-,tot));
T[fa[i]]=merge(T[fa[i]],T[i]);
}
while(d[]--)T[]=pop(T[]);
while(T[]){sum-=tr[T[]].v;T[]=pop(T[]);}
cout<<sum;
return ;
}
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