洛谷 Roy&October之取石子
题目背景
Roy和October两人在玩一个取石子的游戏。
题目描述
游戏规则是这样的:共有n个石子,两人每次都只能取pk 个(p为质数,k为自然数,且pk小于等于当前剩余石子数),谁取走最后一个石子,谁就赢了。
现在October先取,问她有没有必胜策略。
若她有必胜策略,输出一行"October wins!";否则输出一行"Roy wins!"。
输入输出格式
输入格式:
第一行一个正整数T,表示测试点组数。
第2行~第(T+1)行,一行一个正整数n,表示石子个数。
输出格式:
T行,每行分别为"October wins!"或"Roy wins!"。
输入输出样例
3
4
9
14
October wins!
October wins!
October wins!
说明
对于30%的数据,1<=n<=30;
对于60%的数据,1<=n<=1,000,000;
对于100%的数据,1<=n<=50,000,000,1<=T<=100,000。
(改编题)
Solution:
博弈论题首先找规律
首先0 个石子的状态一定是必败态,因为对面在上一轮已经拿完了。
观察1 ~5个石子,发现1=p0,2=21,3=31,4=22,5=51,都是必胜态,可以一次拿完赢得游戏。
然后6个石子没办法一下拿完(因为6≠pk )。可以知道只能拿1 ~5个石子,这样都会转移到前面的必胜态,只不过这个必胜态已经是对面的了,所以说6 个石子是你的必败态,在你面前出现6个石子又轮到你拿的时候,你必定失败。
这样一直往后找到12的时候,发现7 ~11 都是必胜态(一次把石子总数拿到6 个石子然后对面就输了),而12是必败态。
于是猜想所有6n6n6n 的状态是必败态,其余所有状态(6n+1,6n+2…6n+5)都是必胜态。
我们采用数学归纳法证明:
当n=0时,结论成立,因为0 ~5 上面已经说明过了。
现在假设0~6n−1 都满足结论。
先证明6n为必败态:因为任何pk,都不是6 的倍数,所以6n个石子拿完一次不会还是6 的倍数,故必定转移到对面的必胜态,所以6n是必败态。
显然6n+r(r=1,2…5) 只需要拿掉r便可以转移到6n ,是对面的必败态,所以6n+r(r=1,2…5)是必胜态。
证毕。
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; int main(){
int T,x;
for(scanf("%d",&T);T;T--){
scanf("%d",&x);
puts(x%==?"Roy wins!":"October wins!");
}
return ;
}
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