bzoj2026: [SHOI2009]Coin
Description
Constantine刚结束在MySky Island的度假,正准备离开的时候,他想送给她的好朋友YY一份特别的礼物——MySky Island上特别的手工艺品宝石纪念币。宝石纪念币的一面上刻着小岛的名字MySky,或者收礼物的人,比如”to YY”。不过特别的是,每枚纪念币的反面,依次均匀的镶着一圈共n颗彩色的宝石。例如,下面是一个n=7时的简单例子:
因为纪念币是圆的,所以如果两种“宝石颜色的排布”如果经过旋转后对应位置的颜色相重合,就认为他们是相同的排布方式(请注意:纪念币只有一面镶宝石,所以两种排布若经过翻转以后是可以重合的,但只经过旋转无法使两者重合,则认为他们是不同的排布)。例如下面的两种排布方式就是相同的:
另外,由于MySky Island当地的习俗,每枚钱币上的宝石都只能嵌奇数颗宝石,不然就认为是不吉利的。宝石纪念币是现场制作的,游客可以选择自己喜欢的颜色的宝石。所以Constantine选出了他最喜欢的17种颜色(你如果要问为什么选这么多的话,只能告诉你因为17是他的幸运数字)。他想知道,如果他要求纪念币把这17种颜色的宝石都用上的话,可以制作出多少枚不同的纪念币。由于答案可能很大,你只需要计算答案的最后120位就可以了。
Input
输入文件只有一行,包含一个正奇数n 1< = N < =10^9
Output
输出文件包含1行,表示不同纪念币的枚数的最后120位。这120位从高位到低位依次输出,位数不足的用0在高位补足。
用burnside引理转化,矩阵乘法计算长度为n的序列,染上17种颜色且每种颜色都用上的方案数
def phi(x):
i=2
y=x;
while i*i<=x:
if x%i==0:
y=y//i*(i-1)
while x%i==0:
x//=i
i+=1
if x>1:
y=y//x*(x-1)
return y
def mul(a,b):
global mod
c=[0]*324
for i in range(18):
for k in range(i+1):
v=a[i*18+k]
if not v:
continue
for j in range(k+1):
c[i*18+j]+=v*b[k*18+j]
for i in range(324):
c[i]%=mod
return c
def cal(n):
global mod,ps,ans
if n<17:
return 0
x=[0]*324
for i in range(18):
x[i*19]=1
for i in range(32):
if n>>i&1:
x=mul(x,ps[i])
return x[17*18]
n=int(input())
ps=[[0]*324]
mod=10**120*n
for i in range(1,18):
ps[0][i*19]=i
ps[0][i*19-1]=1
for i in range(32):
ps.append(mul(ps[i],ps[i]))
ans=0
i=1
while i*i<=n:
if n%i==0:
j=n//i
ans+=cal(i)*phi(j)
if i!=j:
ans+=cal(j)*phi(i)
i+=1
for i in range(1,18):
ans*=i
ans=str(ans%mod//n)
print(""*(120-len(ans))+ans)
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