HDU5152 线段树 + 数论

　　题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5152 ，线段树区间更新 + 点更新 + 数论知识(数论是重点QAQ)，好题值得一做。

　　BestCoder Round #24的C题，一道神题，不得不说，出题人的数论学的很好，很多人都没想到2333333不是素数的问题，当时全场爆零。我今天下午开始研究这道题，后来看了好久的标程才懂，惭愧。

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　　一共有两个操作一个询问：1.询问[l , r]区间里的值的和; 2.将点x的值a[x]赋为2^a[x]; 3.将区间[l , r]都加上x。

　　这道题复杂就是操作2了，这里需要先知道一个数论知识：　　当x >= Phi(C)时, A^x = A ^ (x%Phi(C) + Phi(C)) (mod C). Phi(C)是C的欧拉函数，即1 ~ C中与C互素整数的个数，具体求法百度之。所以当操作2一直累积下去的时候应该是这样：

　　　　　　　　　　　

　　所以就是一直迭代求2333333的欧拉函数，对于2333333这个模数来说，求18次欧拉函数后就变成了1，所以保存到19层即可。接下来就是线段树的更新与求和。

具体解法：

　　这里只介绍操作2的部分：标程中用了一个一维的vector向量来保存两个信息：每个位置的操作2的次数和操作3要加的数，具体实现方法是vector <LL> a[N]后，如果i号位置需要进行操作2，则进行操作a[i].pushback(0)，如果操作3的PushDown()更新到i的位置时，则a[i][a[i].size() - 1] += add[rt]; 表示在a[i][]数组的最后一个位置加上要加的数。这样的话a[i][]数组的长度就表示有多少次操作2，保存的值就代表了当时的操作3加上的值，所以每次迭代应该是num = 2^{num % phi[pos] + phi[pos]} + a[...] (说点有点乱，不好意思~)。

　　还有一点要注意的是x < Phi(C)的情况，这样的话A ^ x 还等于 A ^ x，这样的话迭代就变为 num = 2^num + a[...]. 这时候再判断num与当前层的欧拉函数的大小关系，到满足条件时再像公式中的进行即可。这里要注意一点，如果当前层满足 x >= Phi(C)的情况，则以后的每一层迭代结果必然也满足，因为 x % Phi(C) + Phi(C) 必然要大于Phi(C)，这样传递下去就可以保证以后的都满足了...(- - ..还是说的很乱，具体见代码，虽然都是看的标程编的QAQ)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <string>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL __int64
#define eps 1e-8
#define INF INT_MAX
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
const int MOD = ;
const int maxn =  + ;
int phi[] = { ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,
             ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , };
LL sum[maxn << ] , add[maxn << ];
vector <LL> a[maxn];
int pow2[];

void init()
{                //求2 ^ i
    for(int i =  ; i <=  ; i++)
        pow2[i] =  << i;
}
LL pow_mod(LL a , LL i , LL n)
{                // a ^ i % n的快速幂
    if(i == )
        return ;
    LL tmp = pow_mod(a , i >>  , n);
    tmp = tmp * tmp % n;
    if(i & )
        tmp = tmp * a % n;
    return tmp;
}
void PushUp(int rt)
{
    sum[rt] = (sum[rt << ] + sum[rt <<  | ]) % MOD;
}
void build(int l , int r , int rt)
{
    add[rt] = ;
    if(l == r) {
        a[l].clear();                //清零不要忘了
        scanf("%d" , &sum[rt]);
        a[l].push_back(sum[rt]);    //初始值放入a[l][0]
        sum[rt] %= MOD;
        return;
    }
    int m = (l + r) >> ;
    build(lson);
    build(rson);
    PushUp(rt);
}
void PushDown(int rt , int len)
{
    if(add[rt]) {
        add[rt << ] += add[rt];
        add[rt <<  | ] += add[rt];
        sum[rt << ] = (sum[rt << ] + 1LL * (len - (len >> )) * add[rt]) % MOD;
        sum[rt <<  | ] = (sum[rt <<  | ] + 1LL * (len >> ) * add[rt]) % MOD;
        add[rt] = ;
    }
}
void update(int L , int R , int x , int l , int r , int rt)
{
    if(L <= l && R >= r) {
        sum[rt] = (sum[rt] + 1LL * (r - l + ) * x) % MOD;
        add[rt] += x;
        return;
    }
    PushDown(rt , r - l + );
    int m = (l + r) >> ;
    if(L > m)
        update(L , R , x , rson);
    else if(R <= m)
        update(L , R , x , lson);
    else {
        update(L , R , x , lson);
        update(L , R , x , rson);
    }
    PushUp(rt);
}
int cal(vector <LL> a)
{
    LL num;
    if(a.size() < ) {        //没到18层，所以要全部来一遍
        num = a[];
        bool flag = false;    //flag判断是否满足 x >= Phi(C)
        int pos = a.size() - ;
        if(num >= phi[pos]) {
            flag = true;
            num = num % phi[pos] + phi[pos];
        }
        pos--;
        for(int i =  ; i < a.size(); i++ , pos--) {
            if(flag) {
                num = (pow_mod( , num , phi[pos]) + a[i]) % phi[pos] + phi[pos];
            } else {
                if(num >= ) {
                    flag = true;
                    num = (pow_mod( , num , phi[pos]) + a[i]) % phi[pos] + phi[pos];
                } else {
                    num = pow2[num] + a[i];        //这时就是 2 ^ num + a[i]
                    if(num >= phi[pos]) {
                        flag = true;
                        num = num % phi[pos] + phi[pos];
                    }
                }
            }
        }
    } else {        //由于Phi[18]就等于1了，所以之前取余就都等于0，不管就可以了
        num = ;
        int pos = ;
        for(int i = a.size() -  ; i < a.size() ; i++ , pos--) {
            num = (pow_mod( , num , phi[pos]) + a[i]) % phi[pos] + phi[pos];
        }
    }
    return num % MOD;
}
void modify(int p , int l , int r , int rt)
{
    if(l == r) {
        if(add[rt]) {    //保留操作3的信息
            a[p][a[p].size() - ] += add[rt];
            add[rt] = ;
        }
        a[p].push_back();    //加一层
        sum[rt] = cal(a[p]);
        return;
    }
    PushDown(rt , r - l + );
    int m = (l + r) >> ;
    if(p <= m)
        modify(p , lson);
    else
        modify(p , rson);
    PushUp(rt);
}
int query(int L , int R , int l , int r , int rt)
{
    if(L <= l && R >= r) {
        return sum[rt] % MOD;
    }
    PushDown(rt , r - l + );
    int m = (l + r) >> ;
    if(L > m)
        return query(L , R , rson);
    else if(R <= m)
        return query(L , R , lson);
    else
        return (query(L , R , lson) + query(L , R , rson)) % MOD;
}
int main()
{
    init();
    int a , b , c , n , m , ch;
    while(~scanf("%d %d" , &n , &m))
    {
        build( , n , );
        while(m--) {
            scanf("%d" , &ch);
            if(ch == ) {
                scanf("%d %d" , &a , &b);
                printf("%d\n" , query(a , b ,  , n , ));
            } else if(ch == ) {
                scanf("%d" , &c);
                modify(c ,  , n , );
            } else {
                scanf("%d %d %d" , &a , &b , &c);
                update(a , b , c ,  , n , );
            }
        }
    }
    return ;
}

另附欧拉函数的代码：

int Euler(int n)
{
    vector <int> a;
    int i = ;
    int res = n;
    while(n != ) {
        if(n % i == )
            a.push_back(i);
        while(n % i == )
            n /= i;
        i++;
    }
    for(i =  ; i < a.size() ; i++)
        res = res / a[i] * (a[i] - );
    return res;
}