【bzoj2306】[Ctsc2011]幸福路径 倍增Floyd

题目描述

一张n个点的有向图，每个点有一个权值。一开始从点$v_0$出发沿图中的边任意移动，移动到路径上的第$i$个点

输入

每一行中两个数之间用一个空格隔开。 
输入文件第一行包含两个正整数 n,  m，分别表示 G 中顶点的个数和边的条
数。 
第二行包含 n个非负实数，依次表示 n个顶点权值 w(1), w(2), …, w(n)。 
第三行包含一个正整数 v0，表示给定的起点。 
第四行包含一个实数 ρ，表示给定的小于 1的正常数。 
接下来 m行，每行两个正整数 x, y，表示<x, y>是G的一条有向边。可能有
自环，但不会有重边。

输出

仅包含一个实数，即 H值的最大可能值，四舍五入到小数点后一位。

样例输入

5 5
10.0 8.0 8.0 8.0 15.0
1
0.5
1 2
2 3
3 4
4 2
4 5

样例输出

18.0

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题解

倍增Floyd

先把点权加到指向这个点的边上，然后设$f[i][j][k]$表示经过$i$条边，从$j$到$k$的最大收益。

那么状态转移方程显然是一个类似Floyd的东西。

由于可以在任意一个点停下，所以在每个点处连一个权值为0的自环。

这个矩阵的无穷次方（Floyd）即为所求。

由于$p<1$，所以$p$的足够多次方可以近似看作0。因此可以倍增Floyd，让这个矩阵倍增50次，相当于p进行了50次平方操作，接近0，可以达到精度要求。

最后加上起点统计答案即可。

时间复杂度$O(50n^3)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
double w[110] , f[55][110][110];
int main()
{
	int n , m , s , i , j , k , l , x , y;
	double p , ans = 0;
	scanf("%d%d" , &n , &m);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lf" , &w[i]);
	scanf("%d%lf" , &s , &p);
	memset(f , 0xc2 , sizeof(f));
	for(i = 0 ; i <= 50 ; i ++ )
		for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
			f[i][j][j] = 0;
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%d%d" , &x , &y) , f[0][x][y] = p * w[y];
	for(i = 1 ; i <= 50 ; i ++ , p = p * p)
		for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
			for(k = 1 ; k <= n ; k ++ )
				for(l = 1 ; l <= n ; l ++ )
					f[i][j][k] = max(f[i][j][k] , f[i - 1][j][l] + p * f[i - 1][l][k]);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		ans = max(ans , w[s] + f[50][s][i]);
	printf("%.1lf\n" , ans);
	return 0;
}