[BZOJ 2721] [Violet 5] 樱花 【线性筛】
题目链接:BZOJ - 2721
题目分析
题目大意:求出 1 / x + 1 / y = 1 / n! 的正整数解 (x, y) 的个数。
显然,要求出正整数解 (x, y) 的个数,只要求出使 y 为正整数的正整数 x 的个数,或者求出使 x 为正整数的正整数 y 的个数即可。
那么我们来转化一下这个式子:
通分:
(x + y) / xy = 1 / n!
n!(x + y) = xy
将 y 分离出来:
n!x = xy - n!y
n!x = (x - n!)y
y = n!x / (x - n!)
那么我们就是要求出,使 n!x / (x - n!) 为正整数的正整数 x 的个数。
我们换元,设 d = x - n! ,则 x = n! + d, 式子变为:
y = n!(n! + d) / d
y = (n!)^2 / d + n!
我们就是要求出使 (n!)^2 / d + n! 为正整数的 d 的个数,显然,d 是 (n!)^2 的任意一个因数。
于是问题转化为,求出 (n!)^2 的因数个数。
因数个数的计算公式:如果一个数的质因数分解为 x = p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an,那么
x 的因数个数为 (a1 + 1) * (a2 + 1) * ... * (an + 1)
我们要求出 (n!)^2 所含的每个质因数的幂次。
n! 含有的质因数就是 n 以内的所有质数,所以我们筛出 n 以内的所有因数,然后我们对于每个因数 pi ,枚举 n 以内的它的所有的倍数,然后暴力求出 1 ~ n 的所有数中,一共含有 pi 的幂次 ai 是多少。那么 (n!)^2 中含有这个质数的幂次就是 ai * 2 。
代码
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm> using namespace std; const int MaxN = 1000000 + 5, MaxP = 100000 + 5, Mod = 1000000007; typedef long long LL; int n, Top;
int Prime[MaxP]; bool isPrime[MaxN]; LL Ans; int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 2; i <= n; ++i) isPrime[i] = true;
isPrime[1] = false;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
if (isPrime[i]) Prime[++Top] = i;
for (int j = 1; j <= Top && i * Prime[j] <= n; ++j)
{
isPrime[i * Prime[j]] = false;
if (i % Prime[j] == 0) break;
}
}
Ans = 1;
int Cnt, Temp;
for (int i = 1; i <= Top; ++i)
{
Cnt = 0;
for (int j = Prime[i]; j <= n; j += Prime[i])
{
Temp = j;
while (Temp % Prime[i] == 0)
{
Temp /= Prime[i];
++Cnt;
}
}
Ans = Ans * (LL)(Cnt * 2 + 1) % Mod;
}
cout << Ans << endl;
return 0;
}
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