【题解】[USACO09NOV]A Coin Game S

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\(\text{Solution:}\)

菜鸡自己想出来了状态设计，但是没有实现出来……菜死了

设\(dp[i][j]\)表示该选第\(i\)个，最多选\(j\)个的最优解。注意这里的定义仅仅是最优解，而不是先手最优。

那么，对于每一个\(dp[i][j]\)都要由下一步的\(dp[i+x][x+x]\)转移而来。注意的是，每一步的先后手不一样。所以轮到对方的时候要用剩下的石子数减去对方的最优解。因为对方选的最优，同时意味着我们在那部分也是最优的，一减就是了。

于是，我们可以枚举起点，枚举范围，再枚举选的个数，大力\(dp.\)然而超时无疑。

观察得到，\(dp[i][j]\)包括\(dp[i-1][j]\)（注意这里还是自己选），而这个\(dp[i-1][j]\)也就是比自己少枚举了一个\(dp[x+lim][lim+lim]\),至于这一句怎么理解：

对于暴力，我们枚举的是，一个初始值再从\(1\to lim\)来枚举选择的数量。这里可以看做，一个\(dp[i-1][lim]\)已经包含了枚举的\(1\to lim-1\)，只差一个\(lim\)就行了。

这里看做一个从前向后推，用了那一句话代表了枚举的那些\(\text{dfs}\).于是省了这些循环。

那么我们省下来一重循环，时间可过。略微卡空间，省着点。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,c[2001],sum[2001];
int dp[2000][2000];
int dfs(int x,int lim){
	lim=min(lim,n-x+1);//边界
	if(~dp[x][lim])return dp[x][lim];//已搜索过了
	if(x+lim>n)return sum[x];//一次选完即可，这里是当前这一部分的最优解，不是全局
	if(!lim)return 0;//没路可走滚回去)
	int ans=dfs(x,lim-1);//dp[x][lim-1],这一步还是轮到我方走
	ans=max(ans,sum[x]-dfs(x+lim,lim<<1));//这里之所以用全部减去这部分，是因为这一部分的dfs依旧在dp，它的结果是后面部分的最优解，减去就是当前这一部分所选择的
	return dp[x][lim]=ans;//继续上面：上面那个东西算的是对方的最优，因为这里的状态定义并不是自己最优，而是当前执子方最优
	//自己已经选择了要lim这部分，那剩下的既然对手最优了，对手选完的就是自己的了。
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",c+i);
	for(int i=n;i>=1;--i)sum[i]=sum[i+1]+c[i];
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	printf("%d\n",dfs(1,2));
	return 0;
}