牛客网多校第4场 A.Ternary String 【欧拉降幂】
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欧拉函数的性质:
① N是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数就是1本身)
② 除了N=2,φ(N)都是偶数.
③ 小于N且与N互质的所有数的和是φ(n)*n/2。
④ 欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φ(m*n)=φ(m)*φ(n)。
⑤ 当N为奇数时,φ(2*N)=φ(N)
⑥ 若N是质数p的k次幂,φ(N)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟N互质。
⑦ 当N是质数时,φ(N) = N-1
广义欧拉定理:
题意和解题思路见上面的学习博客
重点图:
通过这题的计算我们可以发现,对于任何模的欧拉降幂都是可以直接预处理的。
因为phi(1) = 1,而1e9 + 7递归求的phi才28个。
- 1 #include<iostream>
- 2 #include<algorithm>
- 3 #include<stdio.h>
- 4 #include<string.h>
- 5 #include<string>
- 6 #include <cmath>
- 7 using namespace std;
- 8 typedef long long ll;
- 9 const ll mod = 1e9 + 7;
- 10 const int maxn = 2e5 + 10;
- 11 char s[maxn];
- 12 ll qmul(ll a, ll b, ll m)
- 13 {
- 14 ll ans = 0;
- 15 while(b)
- 16 {
- 17 if(b & 1)
- 18 ans = (ans + a) % m;
- 19 b >>= 1;
- 20 a = (a + a) % m;
- 21 }
- 22 return ans;
- 23 }
- 24 ll qmod(ll a, ll b, ll m)
- 25 {
- 26 ll ans = 1;
- 27 while(b)
- 28 {
- 29 if(b & 1)
- 30 ans = qmul(ans, a, m) % m;
- 31 b >>= 1;
- 32 a = qmul(a, a, m) %m;
- 33 }
- 34 return ans;
- 35 }
- 36 ll phi(ll x)
- 37 {
- 38 ll i, res = x;
- 39 for(i = 2; i < sqrt(x * 1.0) + 1; ++i)
- 40 {
- 41 if(!(x % i))
- 42 {
- 43 res = res / i * (i - 1);
- 44 while(!(x % i))
- 45 {
- 46 x /= i;
- 47 }
- 48 }
- 49 }
- 50 if(x > 1)
- 51 res = res / x * (x - 1);
- 52 return res;
- 53 }
- 54 ll p[33];
- 55 int main()
- 56 {
- 57 p[0] = p[1] = mod;
- 58 int cnt = 0;
- 59 for(int i = 2;; ++i)
- 60 {
- 61 p[i] = phi(p[i - 1]);
- 62 if(p[i] == 1)
- 63 {
- 64 cnt = i;
- 65 break;
- 66 }
- 67 }
- 68 int t;
- 69 scanf("%d", &t);
- 70 while(t--)
- 71 {
- 72 int n;
- 73 scanf("%s", s);
- 74 n = strlen(s);
- 75 int num = 0;
- 76 int pos = 0;
- 77 for(int i = n - 1; i >= 0; --i)
- 78 {
- 79 if(s[i] == '2')
- 80 ++num;
- 81 if(num == 28)
- 82 {
- 83 pos = i;
- 84 break;
- 85 }
- 86
- 87 }
- 88 ll ans = 0;
- 89 ++num;
- 90 for(int i = pos; i < n; ++i)
- 91 {
- 92 if(s[i] == '0')
- 93 ans = (ans + 1) % p[num];
- 94 if(s[i] == '1')
- 95 ans = (2 * ans % p[num] + 2 % p[num]) % p[num];
- 96 if(s[i] == '2')
- 97 {
- 98 --num;
- 99 ans = (3 % p[num] * qmod(2, ans + 1, p[num])) % p[num];
- 100 ans = (ans % p[num] - 3 + p[num]) % p[num];
- 101 }
- 102 }
- 103 printf("%lld\n", ans % mod);
- 104 }
- 105
- 106 }
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