AGC010 - D: Decrementing

原题链接

题意简述

给出一个n(n≤105)个数的序列a，足够聪明的AB两人轮流进行以下操作：

令一个大于1的数减1，然后所有数除以gcd{a}。

如果一个人不能操作了，那么他就输了。

输入保证所有数都是正整数并且gcd{a}=1。

分析

这是一道和奇偶性有关的题目。

很容易知道拿到1,1,1,...,1就输了，此时手里数的和sum等于n。

考虑sum奇偶性的转换关系。

或者再展开一点：

偶-奇 是必然的很好理解，重点考虑一下sum为奇数的情形。

奇(-偶)-奇 要求gcd为偶数，因为偶/奇=偶。因此原数列%2必然是000…01的形式，而我可以将其变为000…11从而形成奇-偶 。所以奇-奇 是一定条件下可选的，奇-偶 是任何条件下可行的。

由此再考虑n的奇偶性对答案的影响。

1. n为偶数
   
   能保持sum为奇数的一方一定不会输。既然sum一直是奇数，那么就一定不会得到1,1,1,...,1的状态，必胜。而因为拿到奇数的一方一定可以给对手一个偶数，而对手只能无可奈何地还你一个奇数。所以初始sum为奇数则先手必胜，否则必败。
   
   时间复杂度为O(n)。

2. n为奇数
   
   能保持sum为偶数的一方一定不会输。但是拿到偶数的一方需要保证对手不会还回来一个奇数，下面证明这一点一定可以做到。

   证明

   首先奇数方要是想还给对手一个奇数必然要使gcd不为1，所以原数列%gcd必然是000…01的形式。再考虑这个状态是怎么达到的：
   
   
   
   对于000…11，000…02，000…1k，000…0(k+1)这四种状态另一方都有办法规避000…01的结果。所以拿到偶数的一方一定能保证下一轮自己还是偶数。

   因此初始sum为偶数的话先手必胜。
   
   时间复杂度为O(n)。

   但是初始sum是奇数并不意味着必败；因为此时还没有另一方的干扰，是有可能给对手一个奇数的。但是由于你可能只有极少的选择方案，这给了对手可乘之机：对手也有可能还回来一个奇数。以此循环往复，无法给对手奇数的一方会输掉游戏。
   
   因为每次都会给所有数除以一个大于1的gcd，所以最多往复log2(min{a})次，其中每次操作的复杂度是O(n)。时间复杂度最大为O(n⋅log2(min{a}))。

总时间复杂度最大为O(n⋅log2(min{a}))。

实现

只有n，sum均为奇数时无法通过判断n和sum的奇偶性来得出答案。

计算出前缀gcdg1和后缀gcdg2，然后计算gcd{g1[i−1],a[i]−1,g2[i+1]}，如果 (sum−1)/gcd 为奇数就令所有数除以gcd，然后轮到对手。若没有可能的gcd，GG。

代码

//Decrementing
#include <cstdio>
typedef long long lint;
int const N=1e5+10;
int n,a[N];
int gcd(int x,int y)
{
    if(x==-1 || y==-1) return -x*y;
    if(x==0) return y;
    else return gcd(y%x,x);
}
int g1[N],g2[N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    lint sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),sum+=a[i];
    if(n%2==0)
    {
        if(sum%2==1) printf("First");
        else printf("Second");
        return 0;
    }
    if(sum%2==0) {printf("First"); return 0;}
    int cur=0;
    while(true)
    {
        bool flag=false;
        sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) sum+=a[i];
        g1[0]=-1; g2[n+1]=-1;
        for(int i=2;i<=n;i++) g1[i]=gcd(g1[i-1],a[i]);
        for(int i=n-1;i>=1;i--) g2[i]=gcd(g2[i+1],a[i]);
        int g;
        for(int i=1;i<=n&&!flag;i++)
        {
            if(a[i]==1) continue;
            g=gcd(gcd(g1[i-1],g2[i+1]),a[i]-1);
            if(((sum-1)/g)%2==1) flag=true;
        }
        if(flag)
            for(int i=1;i<=n;i++) a[i]/=g;
        else
        {
            if(cur==0) printf("Second");
            else printf("First");
            return 0;
        }
        cur^=1;
    }
    return 0;
}

注意

挺好写的，主要是思维难度高