HDU6623 Minimal Power of Prime （简单数论）

题面

T

≤

50
 

000

T\leq50\,000

T≤50000 组数据：

输入一个数

N

N

N （

2

≤

N

≤

1

0

18

2\leq N\leq 10^{18}

2≤N≤1018）,输出一个数，表示

N

N

N 质因数分解后，每个质因数的幂的最小值。

题解

妙妙题！

一种神奇的做法：

我们把

N

5

<

3
 

982

\sqrt[5]{N}<3\,982

5N

​<3982 以内的质数都筛出来，以便把

N

N

N 的

≤

N

5

\leq\sqrt[5]{N}

≤5N

​ 的质因数都找到，统计次数，处理答案。然后把

N

N

N 里面的这些质因子全部除掉。这一步的时间大概在 500 左右。

用反证法，不难证明剩下的

N

N

N 最多只有 4 个质因数，所以，要么存在质因数的幂为 1 （答案输出 1），如果不存在，要么是某个质数的平方，要么是三次方、四次方，这三者都可以求出

N

2

,

N

3

,

N

4

\sqrt[2]{N}~,~\sqrt[3]{N}~,~\sqrt[4]{N}

2N

​ , 3N

​ , 4N

​ 然后

O

(

1

)

O(1)

O(1) 判断。

CODE

#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 10005
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
int MOD = 1;
inline LL safemul(LL a,LL b,LL MOD) {
	return a*b%MOD;
//	LL nm = a*b-((LL)((long DB)a/MOD*b+0.5)*MOD);
//	return (nm%MOD+MOD)%MOD;
}
LL qkpow(LL a,LL b,LL MOD) {
	LL res = 1;
	while(b > 0) {
		if(b & 1) {
			if(res*a >= MOD) res = safemul(res,a,MOD)+MOD;
			else res = safemul(res,a,MOD);
		}
		if(a * a >= MOD) a = safemul(a,a,MOD)+MOD;
		else a = safemul(a,a,MOD);
		b >>= 1;
	}return res;
}
LL L;
LL PHI(LL x) {
	LL as = x;
	for(int i = 2;i *1ll* i <= x;i ++) {
		if(x % i == 0) {
			as = as/i*(i-1);
			while(x % i == 0) x /= i;
		}
	}
	if(x > 1) as = as / x * (x-1);
	return as;
}
bool comp(LL a,LL b,LL c) {
	LL res = 1;
	for(int i = 1;i <= b;i ++) {
		if(res > c/a) return 1;
		res = res * a;
	}return res > c;
}
int p[MAXN],cnt;
bool f[MAXN];
void sieve(int n) {
	for(int i = 2;i <= n;i ++) {
		if(!f[i]) p[++ cnt] = i;
		for(int j = 1;j <= cnt && i*p[j] <= n;j ++) {
			f[i*p[j]] = 1;
			if(i%p[j] == 0) break;
		}
	}return ;
}
int depcheck(int tm,LL &MOD) {
	int ans = 64;
	for(int ii = 1;ii <= cnt;ii ++) {
		int i = p[ii];
		if(MOD % i == 0) {
			int ct = 0;
			while(MOD % i == 0) MOD /= i,ct ++;
			ans = min(ans,ct);
		}
	}
	return ans;
}
int main() {
	sieve(4000);
	int T = read();
	while(T --) {
		LL N = read();
		int as = depcheck(5,N);
		LL y4 = (LL)(pow((DB)N,0.25)+0.1);
		LL y3 = (LL)(pow((DB)N,1.0/3.0)+0.1);
		LL y2 = (LL)(sqrt((DB)N)+0.1);
		if(N > 1) {
			if(y4*y4*y4*y4 == N) as = min(as,4);
			else if(y3*y3*y3 == N) as = min(as,3);
			else if(y2*y2 == N) as = min(as,2);
			else as = 1;
		}
		printf("%d\n",as);
	}
	return 0;
}