奇怪的莫比乌斯反演...

题意:定义$f(n)$表示将$n$质因数分解后质因子的最高幂次,求$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}f(gcd(i,j))$

首先肯定是反演嘛...

推一发式子:

$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}f(gcd(i,j))$

$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{d=1}^{min(a,b)}[gcd(i,j)\equiv d]f(d)$

$\sum_{d=1}^{min(a,b)}f(d)\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[gcd(i,j)\equiv d]$

$\sum_{d=1}^{min(a,b)}f(d)\sum_{i=1}^{\frac{a}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{b}{d}}[gcd(i,j)\equiv 1]$

$\sum_{d=1}^{min(a,b)}f(d)\sum_{i=1}^{\frac{a}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{b}{d}}\sum_{t=1}^{min(\frac{a}{d},\frac{b}{d})}\mu(t)$

$\sum_{d=1}^{min(a,b)}f(d)\sum_{t=1}^{min(a,b)}\mu(t)\frac{a}{dt}\frac{b}{dt}$

令$T=dt$,得到:

$\sum_{T=1}^{min(a,b)}\frac{a}{T}\frac{b}{T}\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac{T}{d})$

于是我们只需线性筛后面那一坨,然后数论分块即可

考虑线性筛:

令$g(T)=\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac{T}{d})$

设对$T$进行质因数分解,得到这样的式子:$T=\prod_{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}$

分两类进行讨论:

①.对任意$i\in [1,n-1]$,有$k_{i}=k_{i+1}$

首先我们考虑那个卷积式子,由于有一项是$\mu$,因此我们只需考虑$\mu$里面的东西无平方因子的情况,也即对于每个质因子,要么选$1$个,要么不选!

然后我们考虑什么分法会产生贡献:

不难发现,我们取奇数个质因子和取偶数个质因子的方案数是一样的,而其$\mu$互为相反数,当且仅当我们选了所有质因子时其$f$与其余的$f$不同(这个$f$变成了$k_{i}-1$),因此我们只需知道这个$-1$与对应的$\mu$产生的是正贡献还是负贡献即可,最后结论是$g(T)=(-1)^{n+1}$

②.存在$i,j\in [1,n]$,使得$k_{i}!=k_{j}$

类比上面的分析方式,得到$g(T)=0$

这样就可以线性筛了

代码:

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll long long
using namespace std;
int mu[10000005];
int pri[1000005];
int f[10000005],mi[10000005],val[10000005];
ll F[10000005];
bool used[10000005];
int cnt=0;
ll T,x,y;
void init()
{
mu[1]=1;
f[1]=0;
for(int i=2;i<=10000000;i++)
{
if(!used[i])mu[i]=-1,pri[++cnt]=i,mi[i]=f[i]=1,val[i]=i;
for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=10000000;j++)
{
used[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0)
{
mu[i*pri[j]]=0;
mi[i*pri[j]]=mi[i]+1;
val[i*pri[j]]=val[i]*pri[j];
ll temp=i/val[i];
if(temp==1)f[i*pri[j]]=1;
else f[i*pri[j]]=(mi[temp]==mi[i*pri[j]])?-f[temp]:0;
break;
}
mu[i*pri[j]]=-mu[i],mi[i*pri[j]]=1,val[i*pri[j]]=pri[j],f[i*pri[j]]=(mi[i]==1)?-f[i]:0;
}
}
for(int i=2;i<=10000000;i++)f[i]+=f[i-1];
}
ll solve(ll a,ll b)
{
ll las=1,ans=0;
for(int i=1;i<=a&&i<=b;i=las+1)
{
las=min(a/(a/i),b/(b/i));
ans+=(f[las]-f[i-1])*(a/i)*(b/i);
}
return ans;
}
template <typename T>inline void read(T &x)
{
T f=1,c=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){c=c*10+ch-'0';ch=getchar();}
x=c*f;
}
int main()
{
init();
read(T);
while(T--)
{
read(x),read(y);
printf("%lld\n",solve(x,y));
}
return 0;
}

bzoj 3309的更多相关文章

  1. ●BZOJ 3309 DZY Loves Math

    题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 题解: 莫比乌斯反演,线筛 化一化式子: f(x)表示x的质因子分解中的最大幂指数 $ ...

  2. bzoj 3309 反演

    $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}…p_k^{a_k},p_i$为素数,定义$f(n)=max(a_1,a_2…,a_k)$. 给定a,b<=1e7求$\sum\limits_{i=1} ...

  3. BZOJ 3309: DZY Loves Math

    3309: DZY Loves Math Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 761  Solved: 401[Submit][Status ...

  4. 【BZOJ 3309】DZY Loves Math

    http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 \[\sum_{T=1}^{min(a,b)}\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac ...

  5. BZOJ 3309 莫比乌斯反演

    题目链接 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 题意:定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数,求 $Ans=\sum _{i=1} ...

  6. bzoj 3309 DZY Loves Math——反演+线性筛

    题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 像这种数据范围,一般是线性预处理,每个询问 sqrt (数论分块)做. 先反演一番.然 ...

  7. bzoj 3309 DZY Loves Math —— 莫比乌斯反演+数论分块

    题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 凭着上课所讲和与 Narh 讨论推出式子来: 竟然是第一次写数论分块!所以迷惑了半天: ...

  8. 数学(数论)BZOJ 3309:DZY Loves Math

    Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0. 给定正整数a,b, ...

  9. BZOJ 3309: DZY Loves Math [莫比乌斯反演 线性筛]

    题意:\(f(n)\)为n的质因子分解中的最大幂指数,求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(gcd(i,j))\) 套路推♂倒 \[ \sum_{D=1}^n \sum_{d| ...

  10. 【bzoj 3309 】 DZY Loves Math

    Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0.给定正整数a,b,求 ...

随机推荐

  1. 使用Wireshark完成实验3-IP

    1.使用Wireshark打开ip-ethereal-trace-1,如图 电脑IP地址为192.168.1.102 2.如图,IP包头中上层协议字段的值为1,代表为ICMP 3.如图,IP头中有20 ...

  2. 13.java栈实现计算器

    更新了代码,能跑通了,昨天果然是太晚了脑子混了,今天一看其实就差一句,在最后while循环的时候忘记把拿到的oper从栈里pop出去了,导致oper栈一直不空就要一直从数据栈中取数据进行计算所以一直在 ...

  3. 如何用python将txt中的package批量安装

    第一步:cd 到目标路径 第二步:新建一个requirement.txt文档,将所有要下载的包一一罗列出来(需要指定版本的话,可以用==表明) 第三步:输入命令  pip install -r req ...

  4. uniapp(1)

    **在项目根目录中新建.gitignore忽略文件,并配置如下: 忽略 node_modules /node_modules /unpackage/dist** 添加页面 新建页面,而后选择scss模 ...

  5. (0514)芯王国-志锐-Sd卡高速控制-AXI验证

    (1)commit (2)core  (3)generate (4)struct  结构体 (5)

  6. 杂:python获取所有盘符简单粗暴版

    def _test_p_get_all_driver():    l = []    for i in range(97, 123):        d = chr(i) + ':\\'        ...

  7. python3.10.0字符串基础

    字符串支持 索引 (下标访问),第一个字符的索引是 0.单字符没有专用的类型,就是长度为一的字符串: >>> word = 'Python' >>> word[0] ...

  8. cookie、session入门

    一.cookie是由http制定的 二.使用方法 1.原始方法 使用request接受Cookies请求头 使用response发送set-Cookies响应头 2.常用方法 response.add ...

  9. 遍历List时删除元素导致List抛出java.util.ConcurrentModificationException异常

    1 public static void main(String[] args) { 2 List<String> list = new ArrayList<String>() ...

  10. Jenkins自动化部署(linux环境)---安装篇

    1.安装java yum install java 2.安装Jenkins wget -O /etc/yum.repos.d/jenkins.repo http://pkg.jenkins-ci.or ...