cojs 简单的最近公共祖先 解题报告

我曾经自己想过每考试一次就从考试题中找找idea来出题

这次又找到了一个，先不管原来的考试题是什么

考试题中其中的一部分就是今天的这道题目啦

当时考场上自己比较傻，没有注意到有用的性质，套用了之前黑白树系列的做法

写的是log^2n的，结果导致只能在开O2的情况下A掉这道题目

后来仔细研究了以下，得到了本题的做法

首先我们观察操作中和黑白树系列的那道题目的区别

1、只有染黑操作，没有染白操作

2、不需要可持久化，不需要满足可减性

之后观察题目的性质：

1、转化成暴力写法，每次修改u到根的路径，查询u到根的路径

我们知道修改和查询路径我们可以利用树链剖分+线段树在log^2n的时间内完成

但是仔细考虑性质我们会发现每次修改和查询的一个端点都是根

对于一条链而言，我们每次修改只会修改这条链的顶端top到某个点的值

而又因为只有染黑操作，我们一旦把这条链的顶端top到某个点都染黑之后，这段不可能在被染白回去

那么很明显我们不需要用线段树，可以机智的去掉线段树的那个log

具体做法如下：

我们树链剖分，对于每条链维护一个点u并记录顶端top

每次更新的时候只需要观察更新点的深度是否大于u即可

每次更新是O(1)的，每次最多修改logn条链，修改操作时间复杂度logn

对于查询，我们从u节点向上跳链，如果当前链被修改过，证明答案一定在这条链上

之后我们考虑这条链记录的值u‘的深度，如果大于当前跳到的点u，则答案就是u

否则就是u’

我们每次最多跳logn条链，所以查询时间复杂度logn

至于C操作，时间戳就O(1)啦

总时间复杂度mlogn，常数非常小

在我把考试题的这部分改成这个写法之后就可以在不开O2的情况下A了，而且用时大概是时限的一半

下面说一下有关于出这道题目的一些心得：

1、这个题目的做法我不确定是最优的，可能会有并查集或者O(n)的做法之类的(不过估计需要离线）

如果有更优的做法欢迎与我讨论

2、有关于卡住log^2n：

首先这道题之前的做法是倍增+树状数组，由于维护子树和可以支持染白和可持久化

我一开始调整了树的深度和修改的次数(因为修改是log的，只有查询是log^2的)

使得这个做法会T掉几个点，但是后来我发现由于倍增数组，内存并不兹磁这个做法QAQ

还有一种更显然的做法是树链剖分+线段树，这样修改和查询都是log^2的

这个做法我没有刻意去卡，因为不卡他也会T掉

还有一种做法是上面的优化，就是整条链的修改直接在链上打标记，不维护全局线段树，对于每个链单独开线段树

这样常数会小很多，每次查询的时候只需要跳到第一个有修改标记得链，在线段树上二分就可以了

查询就是log的了，修改还是log^2的

我写了一发，不是很难写，可以过9个点，常数写的比我漂亮一点貌似就能A了