20150913K-means聚类

1.聚类的思想：

将一个有N个对象的数据集，构造成k(k<=n)个划分，每个划分代表一个簇。使得每个簇包含一个对象，每个对象有且仅属于一个簇。
对于给定的k，算法首先给出一个初始的划分方法，以后通过反复迭代的方法改变划分，使得每一次改进之后的划分方案都较前一次更好。

2.K-means聚类

2.1K-means聚类的思想

K-means算法使用广泛，有时候也作为其他聚类算法的基础。
算法首先随机选择k个对象，每个对象初始地代表了一个簇的平均值和中心。对剩余的每个对象根据其与各个簇中心的距离，将它赋给最近的簇。然后重新计算每个簇的平均值。这个过程不断重复，直到准则函数（常常使用最小平方误差）收敛。
其损失函数表达式为\(\sum_{i=1}^k \sum_{x_j \in S_j} \left(x_j - \mu_j \right)^2\)

2.2K-means聚类的算法步骤

输入：n个样本数据，分别为$x_1,x_2,\cdots,x_n$
1. 随机选择k个聚类中心，$\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_k \in \mathbb{R}^{n}$
2. 针对剩余的样本数据，将其类别标签设为距离其最近的聚类中心的标签。
3. 将每个聚类中心的值更新为与该类所有样本的平均值。
4. 重复以上步骤，直到聚类中心的变化小于规定的阈值即可。

2.3K-means聚类代码实现

2.3.1随机构造二维数据集

# -*- coding:utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import *
import random
flag = ['b*','g+','rs','sb', 'db', '<b', 'pb']
def create():
    num = 100
    data = [[],[],[]]
    dataCenter = [(2,3),(2.5,3),(2,2.5)]
    for i in xrange(len(data)):
        for j in xrange(num):
            data[i].append((dataCenter[i][0]+random.uniform(-1,1)**2*random.uniform(-1,1), dataCenter[i][1]+random.uniform(-1,1)**2*random.uniform(-1,1)))
    ##draw picture
    global flag
    for i in xrange(len(data)):
        for j in data[i]:
            plt.plot(j[0],j[1],flag[i])
    plt.show()
    return data[0]+data[1]+data[2]

2.3.2K-means聚类python实现

# -*- coding:utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import *
import random
##计算两个点之间的距离，这里采用的是欧式距离，关于距离的选择，看场景。
def distEclud(vecA, vecB):
    return sqrt(sum(power(vecA-vecB,2)))
##初始化选择k个质心，这里选用的是从n个点中随机选出k个质心。
def initCenter(data, k=2):
    n = shape(data)[1]
    centers = mat(zeros((k,n)))
    for i in xrange(k):
        index = int(random.uniform(0,len(data)))
        centers[i] = data[index]
    return centers
##计算上次和本次质心的距离偏差
def deltaCenter(centers, centersNext):
    return sqrt(sum(power(centers-centersNext,2)))
def KMeans(data,k=2):
    centers = initCenter(data, k)
    centersNext = mat(zeros((k,shape(data)[1])))
    dataNum = shape(data)[0]
    clusterRes = mat(zeros((dataNum,2)))
    eps = 0.01
    delta = inf
    freq = 10
    while eps < delta and freq>0:
        freq -= 1
        ##针对每个点划分类别
        for i in xrange(dataNum):
            mindist = inf
            for j in xrange(k):
                dist = distEclud(centers[j],data[i])
                if dist<mindist:
                    mindist = dist
                    minIndex = j
            clusterRes[i] = [minIndex,mindist]
        ##recalc the center of cluster
        for j in xrange(k):
            clusterData = data[nonzero(clusterRes[:,0].A==j)[0]]
            centers[j] = mean(clusterData, axis=0)
        ##计算上一次聚类中心和这一次的变动
        delta = deltaCenter(centers,centersNext)
    ##draw results
    # global flag
    # for i in xrange(k):
    #     clusterData = data[nonzero(clusterRes[:,0].A==i)[0]]
    #     for j in clusterData:
    #         plt.plot(j[0,0],j[0,1],flag[i])
    # plt.show()
    return centers,clusterRes
if __name__ == '__main__':
    data = create()
    KMeans(mat(data),3)

3个聚类中心依次为：[1.95408899 2.44211387] [ 1.97371672 3.04483904][ 2.59031316 2.9787235 ]

2.4K-means聚类缺点

初值敏感
对噪声敏感
不适于发现非凸面形状的簇或大小差别很大的簇
无法保证收敛到全局最优
有可能会出现某个聚类中心没有任何样本

3.二分K-means

3.1二分K-means算法步骤

由于K-means算法有时候容易收敛到局部最小值，因此就提出了二分K-means。
该算法是将所有点作为一个簇，然后将该簇一分为二，之后选择其中一个簇进行划分，选择哪一个簇进行划分取决于对其划分是否可以最大程度降低SSE(误差平方和)的值，直到得到指定的簇数目为止。
聚类的SSE能够衡量聚类的性能，该值越小表示数据点越接近于它们的质心，聚类效果越好。所以

将所有数据看成一个簇，对该簇进行二分K-means
当簇的数目小于k时
    对每一个簇
         进行K-means划分，其中K=2
         计算划分后的总误差
    选择总误差最小的那个簇进行划分

3.2二分K-means代码实现

# -*- coding:utf-8 -*-
########################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : xuke
# Date   : 2015-09-14
########################################
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import *
import random
flag = ['b*','g+','rs','sb', 'db', '<b', 'pb']
def biKmeans(data,k=2):
    dataNum = shape(data)[0]
    clusterRes = mat(zeros((dataNum,2)))
    center0 = mean(data,axis=0).tolist()[0]
    centers = [center0]
    ##计算一簇的簇心
    for i in xrange(dataNum):
        clusterRes[i,1] = distEclud(mat(center0), data[i])
    while (len(centers) < k):
        minSSE = inf
        ##遍历每个簇，划分每个簇，求得每个簇的SSE
        for i in xrange(len(centers)):
            dataNow = data[nonzero(clusterRes[:,0].A==i)[0],:]
            centerTemp, clusterResTemp = KMeans(dataNow,2)
            dataSSE = sum(clusterResTemp[:,1])
            dataNoSSE = sum(clusterRes[nonzero(clusterRes[:,0].A!=i)[0],1])
            if dataSSE + dataNoSSE < minSSE:
                bestCluster = i
                bestCenter = centerTemp
                bestClusterResTemp = clusterResTemp.copy()
                minSSE = dataSSE + dataNoSSE
        ##为选择出的最佳划分簇，打上类别，假设第2簇需要划分，且现在共有4簇，则第2簇打上2，4label。
        bestClusterResTemp[nonzero(bestClusterResTemp[:,0].A == 1)[0],0] = len(centers)
        bestClusterResTemp[nonzero(bestClusterResTemp[:,0].A == 0)[0],0] = bestCluster
        ##将最佳质心append进centers这个list
        centers[bestCluster] = bestCenter[0,:].tolist()[0]
        centers.append(bestCenter[1,:].tolist()[0])
        clusterRes[nonzero(clusterRes[:,0].A == bestCluster)[0],:] = bestClusterResTemp
    ##draw results
    global flag
    for i in xrange(k):
        clusterData = data[nonzero(clusterRes[:,0].A==i)[0]]
        for j in clusterData:
            plt.plot(j[0,0],j[0,1],flag[i])
    plt.show()
    return mat(centers), clusterRes
if __name__ == '__main__':
    data = create()
    # print KMeans(mat(data), 4)[0]
    print biKmeans(mat(data), 3)[0]