[ch04-04] 多样本单特征值计算

系列博客，原文在笔者所维护的github上：https://aka.ms/beginnerAI，点击star加星不要吝啬，星越多笔者越努力。

4.4 多样本单特征值计算

在前面的代码中，我们一直使用单样本计算来实现神经网络的训练过程，但是单样本计算有一些缺点：

很有可能前后两个相邻的样本，会对反向传播产生相反的作用而互相抵消。假设样本1造成了误差为0.5，w的梯度计算结果是0.1；紧接着样本2造成的误差为-0.5，w的梯度计算结果是-0.1，那么前后两次更新w就会产生互相抵消的作用。
在样本数据量大时，逐个计算会花费很长的时间。由于我们在本例中样本量不大（200个样本），所以计算速度很快，觉察不到这一点。在实际的工程实践中，动辄10万甚至100万的数据量，轮询一次要花费很长的时间。

如果使用多样本计算，就要涉及到矩阵运算了，而所有的深度学习框架，都对矩阵运算做了优化，会大幅提升运算速度。打个比方：如果200个样本，循环计算一次需要2秒的话，那么把200个样本打包成矩阵，做一次计算也许只需要0.1秒。

下面我们来看看多样本运算会对代码实现有什么影响，假设我们一次用3个样本来参与计算，每个样本只有1个特征值。

4.4.1 前向计算

由于有多个样本同时计算，所以我们使用\(x_i\)表示第 \(i\) 个样本，X是样本组成的矩阵，Z是计算结果矩阵，w和b都是标量：

\[
Z = X \cdot w + b \tag{1}
\]

把它展开成3个样本（3行，每行代表一个样本）的形式：

\[
X=\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
\]

\[
Z=
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix} \cdot w + b
=
\begin{pmatrix}
x_1 \cdot w + b \\
x_2 \cdot w + b \\
x_3 \cdot w + b
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
z_1 \\
z_2 \\
z_3
\end{pmatrix} \tag{2}
\]

\(z_1、z_2、z_3\)是三个样本的计算结果。根据公式1和公式2，我们的前向计算python代码可以写成：

    def __forwardBatch(self, batch_x):
        Z = np.dot(batch_x, self.w) + self.b
        return Z

Python中的矩阵乘法命名有些问题，np.dot()并不是矩阵点乘，而是矩阵叉乘，请读者习惯。

4.4.2 损失函数

用传统的均方差函数，其中，z是每一次迭代的预测输出，y是样本标签数据。我们使用m个样本参与计算，因此损失函数为：

\[J(w,b) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(z_i - y_i)^2\]

其中的分母中有个2，实际上是想在求导数时把这个2约掉，没有什么原则上的区别。

我们假设每次有3个样本参与计算，即m=3，则损失函数实例化后的情形是：

\[
\begin{aligned}
J(w,b) &= \frac{1}{2\times3}[(z_1-y_1)^2+(z_2-y_2)^2+(z_3-y_3)^2] \\
&=\frac{1}{2\times3}\sum_{i=1}^3[(z_i-y_i)^2]
\end{aligned} \tag{3}
\]

公式3中大写的Z和Y都是矩阵形式，用代码实现：

    def __checkLoss(self, dataReader):
        X,Y = dataReader.GetWholeTrainSamples()
        m = X.shape[0]
        Z = self.__forwardBatch(X)
        LOSS = (Z - Y)**2
        loss = LOSS.sum()/m/2
        return loss

Python中的矩阵减法运算，不需要对矩阵中的每个对应的元素单独做减法，而是整个矩阵相减即可。做求和运算时，也不需要自己写代码做遍历每个元素，而是简单地调用求和函数即可。

4.4.3 求w的梯度

我们用 J 的值作为基准，去求 w 对它的影响，也就是 J 对 w 的偏导数，就可以得到w的梯度了。从公式3看 J 的计算过程，\(z_1、z_2、z_3\)都对它有贡献；再从公式2看\(z_1、z_2、z_3\)的生成过程，都有w的参与。所以，J 对 w 的偏导应该是这样的：

\[
\begin{aligned}
\frac{\partial{J}}{\partial{w}}&=\frac{\partial{J}}{\partial{z_1}}\frac{\partial{z_1}}{\partial{w}}+\frac{\partial{J}}{\partial{z_2}}\frac{\partial{z_2}}{\partial{w}}+\frac{\partial{J}}{\partial{z_3}}\frac{\partial{z_3}}{\partial{w}} \\
&=\frac{1}{3}[(z_1-y_1)x_1+(z_2-y_2)x_2+(z_3-y_3)x_3] \\
&=\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
z_1-y_1 \\
z_2-y_2 \\
z_3-y_3
\end{pmatrix} \\
&=\frac{1}{m} \sum^m_{i=1} (z_i-y_i)x_i \\
&=\frac{1}{m} X^T \cdot (Z-Y) \\
\end{aligned} \tag{4}
\]

其中：
\[X =
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}, X^T =
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3
\end{pmatrix}
\]

公式4中最后两个等式其实是等价的，只不过倒数第二个公式用求和方式计算每个样本，最后一个公式用矩阵方式做一次性计算。

4.4.4 求b的梯度

\[
\begin{aligned}
\frac{\partial{J}}{\partial{b}}&=\frac{\partial{J}}{\partial{z_1}}\frac{\partial{z_1}}{\partial{b}}+\frac{\partial{J}}{\partial{z_2}}\frac{\partial{z_2}}{\partial{b}}+\frac{\partial{J}}{\partial{z_3}}\frac{\partial{z_3}}{\partial{b}} \\
&=\frac{1}{3}[(z_1-y_1)+(z_2-y_2)+(z_3-y_3)] \\
&=\frac{1}{m} \sum^m_{i=1} (z_i-y_i) \\
&=\frac{1}{m}(Z-Y)
\end{aligned} \tag{5}
\]

公式5中最后两个等式也是等价的，在python中，可以直接用最后一个公式求矩阵的和，免去了一个个计算\(z_i-y_i\)最后再求和的麻烦，速度还快。

    def __backwardBatch(self, batch_x, batch_y, batch_z):
        m = batch_x.shape[0]
        dZ = batch_z - batch_y
        dW = np.dot(batch_x.T, dZ)/m
        dB = dZ.sum(axis=0, keepdims=True)/m
        return dW, dB

代码位置

ch04, HelperClass/NeuralNet.py