逛公园「NOIP2017」最短路+DP

大家好我叫蒟蒻，这是我的第一篇信竞题解blog

【题目描述】

策策同学特别喜欢逛公园。 公园可以看成一张 \(N\) 个点 \(M\) 条边构成的有向图，且没有自环和重边。其中 \(1\) 号点是公园的入口， \(N\) 号点是公园的出口，每条边有一个非负权值，代表策策经过这条边所要花的时间。

策策每天都会去逛公园，他总是从 \(1\) 号点进去，从 \(N\) 号点出来。

策策喜欢新鲜的事物，他不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个特别热爱学习的好孩子，他不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果 \(1\) 号点到 \(N\) 号点的最短路长为 \(d\)，那么策策只会喜欢长度不超过 \(d + K\) 的路线。

策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮他吗？

为避免输出过大，答案对 \(P\) 取模。

如果有无穷多条合法的路线，请输出 \(−1\)。

【输入格式】

第一行包含一个整数 \(T\), 代表数据组数。

接下来 \(T\) 组数据，对于每组数据：

第一行包含四个整数 \(N,M,K,PN,M,K,P\)， 每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来 \(m\) 行，每行三个整数 \(a_i,b_i,c_i\)， 代表编号为 \(a_i,b_i\) 的点之间有一条权值为 \(c_i\) 的有向边，每两个整数之间用一个空格隔开。

【输出格式】

输出文件包含 \(T\) 行，每行一个整数代表答案。

【思路点拨】

是个人应该都能看出此题是要先求出最短路.jpg



亲测此题SPFA跑的比Dijkstra快

为什么？我人品好

最短路只能求出路径长度，计算路径条数似乎做不到——

然后就gg了

据说NOIP2017 Day1三题都没有DP 作为Day2压轴题 DP是压轴出场

What is DP? Is that Dui Pai?

考虑DP的子状态 肯定有一维是要存储当前的点编号

注意到此题 \(k \le 50\) 第二维可以存储当前路径1-i的长度超出了1-i最短路多少

于是 \(dp[i][j]\) 就表示\(1-i\)路径长度为 \(dis[i]\) (\(1-i\)最短路) \(+ j\) 的方案数

对于任意一个 \(u\), 设它有一条路径连向 \(v\)。

则可以推出 \(dp[u][l] = \sum dp[v][dis[u]-dis[v]+l-edge(u, v)] (1 \le l \le k)\)

然后就可以开始快乐DP了

如何判断 \(0\) 环？

dfs的时候记录一下就行了

要记得加记忆化搜索

贴心提示

日常全开\(long long\)是好习惯 多卡常 出奇迹

【代码实现】

#include <bits/stdc++.h>
#define ri register long long
using namespace std;
typedef long long ll;
ll t, n, m, k, p, ans;
ll head[200005], pre[800005], to[800005], val[800005], len;
ll head2[200005], pre2[800005], to2[800005], val2[800005], len2;
ll dis[200005], dis2[200005], visit[200005][61];
ll dp[200005][61];//又到了我们最喜欢的DP时间 
bool vis[200005], ok;
inline ll read() {
	ll ret = 0, flag = 1;
	char ch = getchar();
	while (ch > '9' || ch < '0') {
		if (ch == '-') flag = -1;
		ch = getchar();
	}
	while (ch <= '9' && ch >= '0') {
		ret = (ret << 1) + (ret << 3) + (ch ^ '0');
		ch = getchar();
	}
	return ret * flag;
} 
inline void write(ll num) {
	if (num > 9) write(num / 10);
	putchar(num % 10 + '0');
}
inline void insert(ll u, ll v, ll w) {
	pre[++len] = head[u]; head[u] = len;
            to[len] = v; val[len] = w;
}
inline void insert2(ll u, ll v, ll w) {
	pre2[++len2] = head2[u]; head2[u] = len2;
            to2[len2] = v; val2[len2] = w;
}
inline void add(ll &a, ll b) {            //究极玄学卡常
	a += b;
	if (a > p) {
		a -= p;
	}
}
inline void SPFA() {
	vis[1] = 1;
	dis[1] = 0;
	queue<ll> q;
	q.push(1);
	while (!q.empty()) {
		ll x = q.front();
		q.pop();
		for (ri i = head[x]; i != 0; i = pre[i]) {
			ll y = to[i];
			if (dis[y] > dis[x] + val[i]) {
				dis[y] = dis[x] + val[i];
				if (!vis[y]) {
					vis[y] = 1;
					q.push(y);
				}
			}
		}
		vis[x] = 0;
	}
}
ll dfs(ll c, ll nowk) {
	if (dp[c][nowk] != -1) return dp[c][nowk];
	visit[c][nowk] = 1;
	dp[c][nowk] = 0;
	for (ri i = head2[c]; i; i = pre2[i]) {
		ll next = dis[c] - dis[to2[i]] + nowk - val2[i];
		if (next < 0) continue;
		if (visit[to2[i]][next]) {
			ok = 1;
		}
		add(dp[c][nowk], dfs(to2[i], next));
	}
	visit[c][nowk] = 0;
	return dp[c][nowk];
}
void This_is_a_dp() {
	dp[1][0] = 1;
	for (ri i = 0; i <= k; i++) {
		add(ans, dfs(n, i));
	}
}
int main() {
	t = read();
	while (t--) {
		memset(head, 0, sizeof(head));
		memset(head2, 0, sizeof(head2));
		memset(dp, -1, sizeof(dp));
		memset(visit, 0, sizeof(visit));
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		memset(dis, 0x7f, sizeof(dis));
		ok = 0;
		len = ans = len2 = 0;
		n = read();
		m = read();
		k = read();
		p = read();
		for (ri i = 1; i <= m; i++) {
			ll u, v, w;
			u = read();
			v = read();
			w = read();
			insert(u, v, w);
			insert2(v, u, w);
		}
		SPFA();
		/*DP!*/
		This_is_a_dp();
		dfs(n, k + 1);
		if (ok) {
			puts("-1");
			continue;
		}
		write(ans); puts("");
	}
	return 0;
}

时间复杂度 \(O((k+x)m)\) \((x\)为\(SPFA\)玄学次数\()\)