【BZOJ】2440: [中山市选2011]完全平方数（莫比乌斯+容斥原理+二分）

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2440

我觉得网上很多题解都没说清楚。。。（还是我太弱了？

首先我们可以将问题转换为判定性问题，即给出一个数$x$，有多少个小于$x$等于的数是不能分解的，即不是完全平方数（不包括1）。

而每个数都可以写成质数积，那么显然只要质数的平方的倍数就可以代替所有数的平方的倍数。

考虑质数个数，假设质数集$P$，那么根据容斥原理，在$[1, x]$范围内的整数不能能分解的个数有：

$$x - (A_{p_1} + A_{p_2} + \cdots + A_{p_k}) + (A_{p_1 \cdot p_2} + A_{p_1 \cdot p_3} + \cdots + A_{p_{k-1} \cdot p_k}) + \cdots + (-1)^{k} A_{\prod_{i=1}^{k} p_i}$$

其中$A_{S}=\left \lfloor \frac{x}{S \cdot S} \right \rfloor$，即$[1, x]$范围内$S|T$的$T$个数。

而我们考虑莫比乌斯函数的定义，发现当$\mu (x)=(-1)^k$的定义恰好是指数均为1的定义！而符号又决定了容斥的符号！哈哈！

所以我们预处理mu后，因为根据每个数的最大平方因子为$\sqrt{x}$，那么我们只要枚举$\sqrt{x}$个数，然后用莫比乌斯来搞就行了！

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rep(i, n) for(int i=0; i<(n); ++i)
#define for1(i,a,n) for(int i=(a);i<=(n);++i)
#define for2(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i)
#define for3(i,a,n) for(int i=(a);i>=(n);--i)
#define for4(i,a,n) for(int i=(a);i>(n);--i)
#define CC(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define read(a) a=getint()
#define print(a) printf("%d", a)
#define dbg(x) cout << (#x) << " = " << (x) << endl
#define error(x) (!(x)?puts("error"):0)
inline const ll getint() { ll r=0, k=1; char c=getchar(); for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') k=-1; for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) r=r*10+c-'0'; return k*r; }
#define rdm(x, i) for(int i=ihead[x]; i; i=e[i].next)

const int N=1e5+10;
int mu[N], p[N], np[N], cnt;
void init() {
	mu[1]=1;
	for2(i, 2, N) {
		if(!np[i]) p[++cnt]=i, mu[i]=-1;
		for1(j, 1, cnt) {
			int t=p[j]*i;
			if(t>=N) break;
			np[t]=1;
			if(i%p[j]==0) { mu[t]=0; break; }
			mu[t]=-mu[i];
		}
	}
}
ll cal(ll x) {
	int s=sqrt(x+0.5); ll ret=0;
	for1(i, 1, s) ret+=mu[i]*(x/(1ll*i*i));
	return ret;
}
int main() {
	init();
	int T=getint();
	while(T--) {
		ll k=getint(), l=1, r=k<<1;
		while(l<=r) {
			ll mid=(l+r)>>1;
			if(cal(mid)>=k) r=mid-1;
			else l=mid+1;
		}
		printf("%lld\n", r+1);
	}
	return 0;
}

　　

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Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。 
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。 
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。 
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

,    T ≤ 50

Source