【BZOJ】1426: 收集邮票 期望DP

【题意】有n种不同的邮票，第i次可以花i元等概率购买到一种邮票，求集齐n种邮票的期望代价。n<=10^4。

【算法】期望DP

【题解】首先设g[i]表示已拥有i张邮票集齐的期望购买次数，根据全期望公式，可以依赖于买到已集和未集邮票的情况：

$$g[i]=\frac{i}{n}*g[i]+\frac{n-i}{n}*g[i+1]+1$$

当然最后记得+1，然后移项解方程。

设f[i]表示已拥有i张邮票及其的期望代价，会发现因为是倒推，所以代价的问题变得很麻烦。

我们将代价倒置，假设购买k次，那么第一张k元……第k张1元，那么就会发现代价变成了集齐的期望购买次数。

根据全期望公式：

$$f[i]=\frac{i}{n}*(f[i]+g[i])+\frac{n-i}{n}*(f[i+1]+g[i+1])+1$$

然后移项解方程即可。

复杂度O(n)。

也可以直观地设计状态（不倒置代价），然后计算无穷：DaD3zZ。

#include<cstdio>
double f[],g[],n;
int main()
{
    scanf("%lf",&n);
    for(int i=n-;i>=;i--)f[i]=f[i+]+n/(n-i);
    for(int i=n-;i>=;i--)g[i]=g[i+]+f[i+]+i*f[i]/(n-i)+n/(n-i);
    printf("%.2lf",g[]);
    return ;
}