2734: [HNOI2012]集合选数

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Description

《集合论与图论》这门课程有一道作业题,要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集:若 x 在该子集中,则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目,于是把它变成了以下问题:对于任意一个正整数 n≤100000,如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数(只需输出对 1,000,000,001 取模的结果),现在这个问题就 交给你了。

Input

只有一行,其中有一个正整数 n,30%的数据满足 n≤20。

Output

仅包含一个正整数,表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。

Sample Input

4

Sample Output

8

【样例解释】

有8 个集合满足要求,分别是空集,{1},{1,4},{2},{2,3},{3},{3,4},{4}。

HINT

Source

day2

Solution

一开始真没想到..

就是写一个矩阵

$$\begin{bmatrix}x &  3x&  9x& ...&\\ 2x &  6x&  18x& ...&\\ 4x&  12x&  36x& ...&\\  ...&  ...&  ...&  ...& \end{bmatrix}$$

然后我们发现实际上就是需要求矩阵中,不允许出现相邻的两个数。

因为这个矩阵的列数是$log_{3}$,行数是$log_{2}$的,显然可以状压..

但是有些数并不会出现在这个矩阵中,所以构造完一个后,找下一个没出现过的x重新构造,乘法原理结合起来即可。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
inline int read()
{
int x=,f=; char ch=getchar();
while (ch<'' || ch>'') {if (ch=='-') f=-; ch=getchar();}
while (ch>='' && ch<='') {x=x*+ch-''; ch=getchar();}
return x*f;
}
#define MAXN 100010
#define P 1000000001
int a[][],N,M,end[];
LL f[][],bin[],ANS=;
bool visit[MAXN];
inline void Pre(int x)
{
memset(a,,sizeof(a));
memset(end,,sizeof(end)); end[]=;
a[][]=x;
for (int i=; ; i++)
if ((a[i-][]<<)<=N) a[i][]=a[i-][]<<; else {M=i-; break;}
for (int i=; i<=M; i++)
for (int j=; ; j++)
if (a[i][j-]*<=N) a[i][j]=a[i][j-]*; else {end[i]=j-; break;}
// puts("======================================");
// for (int i=1; i<=M; i++,puts(""))
// for (int j=1; a[i][j]; j++)
// printf("%d ",a[i][j]);
// puts("======================================");
for (int i=; i<=M; i++)
for (int j=; j<=end[i]; j++)
visit[a[i][j]]=;
// for (int i=1; i<=M; i++) printf("%d ",end[i]); puts("");
}
inline LL DP(int x)
{
Pre(x); memset(f,,sizeof(f)); f[][]=;
for (int i=; i<=M; i++)
for (int j=; j<bin[end[i]]; j++)
if (f[i][j])
for (int k=; k<bin[end[i+]]; k++)
(f[i+][k]=(!(j&k) && !(k&(k>>)))? (f[i][j]+f[i+][k]) : f[i+][k])%=P;
return f[M+][];
}
int main()
{
N=read();
bin[]=; for (int i=; i<=; i++) bin[i]=bin[i-]<<;
for (int i=; i<=N; i++) if (!visit[i]) (ANS*=DP(i))%=P;
printf("%lld\n",ANS);
return ;
}

断断续续写了2节课....一开始边界搞得有问题特别不科学.....这是弱智,

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