Vijos 1012 清帝之惑之雍正 平面最近点对（分治）

背景

雍正帝胤祯，生于康熙十七年（1678）是康熙的第四子。康熙61年，45岁的胤祯继承帝位，在位13年，死于圆明园。庙号世宗。

胤祯是在康乾盛世前期--康熙末年社会出现停滞的形式下登上历史舞台的。复杂的社会矛盾，为胤祯提供了施展抱负和才干的机会。他有步骤地进行了多项重大改革，高瞻远瞩，又惟日孜孜，励精图治，十三年中取得了卓有成效的业绩，为后代的乾隆打下了扎实雄厚的基础，使“康乾盛世”在乾隆时期达到了顶峰。他的历史地位，同乃父康熙和乃子乾隆相比，毫不逊色。尽管他猜忌多疑，刻薄寡恩，统治严酷，但比起他的业绩来，毕竟是次要的。

描述

话说雍正为了实施促进城市间沟通的政策，他计划在所有的大城市里挑选两个城市，在两个城市之间修建一条运河，这条运河要求是笔直的，以加强这两个城市的经济往来。但雍正希望这条运河长度越短越好，他请来了宰相和大学士帮他解决这个问题——到底挑哪两个大城市，在其间建造运河，使得其长度最小，最小为多少？可是经过长时间的计算和判断，仍然没有得出结果。此时，雍正想到了当初为康熙解决难题的你，是如此的智慧，如此的聪明绝顶。他亲自来到茅厕，找到了你（你当时已然是一个扫厕所的了），希望你能帮他解决这个问题，必定“厚”谢。你欣然答应了。

雍正将大致的情况告诉了你，并且说：大清一共有n个大城市，所有的大城市都不在同一个地点，同时我们对这n个城市从1到n进行编号；对于一个城市k，他有两个属性，一个是Xk，一个是Yk，分别表示这个城市所处的经度和纬度。请你告诉他问题的结果：L，即运河长度。（你可以假定地球是平面的）

格式

输入格式

第1行，一个整数n。

从第2行到n+1行，按照i从小到大顺序，每行两个整数Xi，Yi，代表编号为i的城市的经度和纬度。

其中2<=n <=100000，1<=Xi,Yi<2^31。

输出格式

一个实数L（保留三位小数）。

样例1

样例输入1

2

1 1

2 2

样例输出1

1.414

题解

这是一道求“平面最近点对”的模板题，平面最近点对使用分治的方法可以实现O(NlogN)的时间复杂度。

代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 101000;
#define inf 1e10
struct Point
{
    double x, y;
};
Point p[maxn];
int n;
double getDistance(Point a, Point b)
{
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
bool cmp(Point a, Point b)
{
    return a.x < b.x || a.x == b.x && a.y < b.y;
}
double getDistance(int L, int R)
{
    if (L >= R)
        return inf;
    if (L + 1 == R)
        return getDistance(p[L], p[R]);
    int M = (L + R) / 2;
    double d = min(getDistance(L, M), getDistance(M+1, R));
    for (int i = M; i >= L; i --)
    {
        for (int j = M+1; j <= R && p[j].x - p[i].x < d; j ++)
        {
            double tmp = getDistance(p[i], p[j]);
            if (tmp < d)
                d = tmp;
        }
    }
    return d;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
    }
    sort(p, p+n, cmp);
    double ans = getDistance(0, n-1);
    printf("%.3lf\n", ans);
    return 0;
}